Matematica 3- Scritto del 21/6/03 - Risoluzione degli esercizi


Esercizio 1

A) La norma di gamma_s(t) e' 1/e^t e quindi il limite esiste ed e'
l'origine di R^2.  

B) Il limite esiste ed e' radice di due.

C) La forma alfa e' il differenziale di log(1 + x^2 + y^2), quindi il
limite richiesto e' -log2.

D) La forma beta e' il differenziale di arctg(y/x), da cui si ricava
che  l'integrale di beta su gamma_s e' esattamente s. Quindi il
limite e' infinito.


Esercizio 2

Il sistema non e' definito per x=t e x'=-1. Semplificando l'equazione
si ottiene che se x e' una soluzione allora x^2 + t^2 e' costante e
quindi le soluzioni, quando esistono, sono archi di circonferenze
centrate in zero.

A) C'e' esistenza locale per c diverso da zero perche' l'equazione 
si esplicita come x'=f(t,x) con f regolare nell'intorno di (0,c).
Per c=0 non c'e' soluzione perche' l'equazione non e' definita.

B) Per c>0 e' (-c,c/(radice di due)).
Per c<0 e' (c/(radice di due),-c).

C) Si veda quanto detto all'inizio.

D) Fa zero.

E) Fa 1 su radice di due.


Esercizio 3

A) Le radici sono i, -i, i(rad 2), -i(rad 2).

B) Usando i residui, viene pi greco per (1-1/(rad 2)).

C) Poiche' g(x)=36x, la L(g)(z) esiste per Re(z)>0 e fa 36/z^2.

D) La f(t) e' costante a tratti.

E) Fa zero.