Matematica III - Scritto del 15/02/03 - Risoluzione


Esercizio 1.

A) No.

B) No, alrimenti omega sarebbe chiusa.

C) Sono tutte quelle del tipo omega + alfa con alfa chiusa, 
cioe' esatta.

D) Fa 0.

E) Sia D il disco unitario a livello zero.  L'integrale cercato
e' quello di omega su D + quello del differenziale di omega
sulla mezza palla superiore.  Il primo fa Pi, il secondo Pi/4
(usando coordinate cilindriche) dunque in tutto fa 5Pi/4.


Esercizio 2.

A) - t*e^(-t) / 4.

B) t^4*e^(-t) / 12 - t*e^(-t) / 4.

C) Essendo x_epsilon = (epsilon*t^4 / 12 - t / 4) * e^(-t), 
c'e' convergenza uniforme.

D) Si verifica che x' si annulla in un solo punto che e' un
minimo locale, e dunque che il massimo si ha in t=-1, dunque
M(epsilon) = e * (epsilon/12 +1/4) ed il suo massimo e' e/3.



Esercizio 3.

A) C'e' una singolarita' essenziale.

B) C'e' solo il polo di ordine uno in z=1.

C) Si calcola lo sviluppo di Laurent e si individua
il coefficiente di 1/z, che e' l'unico che contribuisce.
Viene -sin(1).

D) 2Pi*i*sin(1)

E) g(z)=(z*sinz)/(1-z). Quindi g si estende in z=0, che e' una 
singolarita' eliminabile. Non ci sono altre singolarita'.