Matematica 3 - Scritto del 13/09/20 - Risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1)

A) Fa 4 pigreco.
B) Sė.
C) La divergenza del campo v e' 1. Quindi il flusso richiesto e' uguale al 
   volume racchiuso tra Sigma e il disco unitario sul piano XY piu' il 
   flusso attraverso tale disco. A livello z=0 la componente verticale del campo v 
   e' x^2, il cui integrale sul disco unitario fa pigreco/4. Il volume 
   racchiuso tra Sigma e il disco e' pigreco + 2pigreco/3. In totale il flusso 
   richiesto e' piu' o meno 23pigreco/12 a seconda dell'orientazione scelta.
D) La circuitazione di v e' il flusso del rotore di v attraverso una qualunque
   superficie con lo stesso bordo di Sigma. La componente lungo Z del rotore 
   di v e' 2(z-x). Scegliendo come nel punto C) il disco unitario del piano 
   XY, il flusso viene 0.
E) Come nel punto D) si usa la formula del rotore. Il rotore di w e' (1,-1,1).
   La circuitazione richiesta e' quindi piu' o meno pigreco a seconda 
   dell'orientazione scelta.


Esercizio 2)

A) C'e' esistenza e unicita' locale perche' i dati sono regolari in un intorno
   di t=1.
B) Le soluzioni sono xk(t)=kt^2, che sono definite globalmente (e risolvono 
   l'equazione per ogni t).
C) L'equazione impone yk(0)=0, quindi c'e' soluzione solo per k=0. D'altronde
   tutte le xk sono soluzioni, per cui non c'e' unicita'.


Esercizio 3)

A) Viene 2/(1+x^2).
B) C'e' solo 2/(1+z^2).
C) Usando i residui, viene 4pigreco.
D) Viene 0 per ogni r diverso da 1, per r=1 non e' definito.