Matematica 3 - Scritto del 12/7/03 - Risoluzione degli esercizi.


Esercizio 1

A) Il volume e' 6 pi greco, l'area e' 18 pi greco.

B) Usando il teorema della divergenza, fa 6 pi greco.

C) Le facce orizzontali non contribuiscono, i due cilindri 
esterno ed interno contribuiscono rispettivamente con 
8 pi greco e con 4 pi greco, ma con segni opposti, dunque in 
totale fa 4 pi greco.


Esercizio 2

A) Il polinomio associato ha come radici -1/(radice di 2),
i/(radice di 2) e -i/(radice di 2). Quindi la soluzione
generica e' 
(1/radice di 2)^n per ( X(-1)^n + Yi^n + Z(-i)^n ) 
dove X,Y,Z sono delle costanti.

B) Tutte le soluzioni convergono a zero, quindi sono limitate.

C) Per il punto (B), l'unica soluzione periodica e' la costante zero.

D) Basta porre X=Z=0 e Y=1 nel punto (A).

E) La serie e' assolutamente convergente perche' e' una serie
geometrica di ragione 1/(radice di due).


Esercizio 3

A) f_k ha uno zero di ordine k-1 in zero e k poli di ordine uno nelle
k radici k-esime di 1.

B)+D) Notare che f_k=g'/g con g(z)=z^k-1.  La g ha solo k zeri di ordine
uno nelle k radici k-esime di 1. Dal teorema dell'indicatore
logaritmico segue che per ogni funzione h olomorfa,
l'integrale sul bordo del disco di raggio 2 di h(z)f_k(z)dz e'
2 pi greco i per (somma dei valori che h assume nelle
radici k-esime di 1). Ne segue che l'integrale proposto in (B) fa 
esattamente k, e che la funzione identita' soddisfa 
la condizione richiesta in (D).

C) Sempre utilizzando il teorema dell'indicatore logaritmico, viene -k.