Matematica III - Scritto del 11/01/03 - Risoluzione


Esercizio 1

A) No.

Ora si calcola facilmente che F(0)=1 e F(r)=1/e+r/(1-r) per r>0,
dunque:

B) Fa 1/e.

C) Fa +infinito.

D) Fa 1/e.

E) Non e' continua e il limite fa +infinito.


Esercizio 2

L'equazione e' esatta, e le soluzioni si ottengono esplicitando
l'equazione t^2 + 2xt - x^2 = costante.

A) L'esistenza locale c'e' sempre (per s diverso da k). La soluzione
e' globale per s^2 + 2sk - k^2 < 0 ed e' definita su una semiretta
altrimenti.

B) Dall'equazione segue subito che il grado puo' essere al piu' 1,
e si trova allora x=(1+radice di due)t, definita sulla semiretta
(0,infinito) oppure sulla semiretta (-infinito,0), oppure
x=(1-radice di due)t di nuovo su (0,infinito) oppure su 
(-infinito,0).  Si hanno dunque in tutto quattro soluzioni 
polinomiali distinte.

C) Sono esattamente le quatro soluzioni di cui sopra.

D) Basta guardare le curve di livello di t^2 + 2xt - x^2. Vengono 
rami di iperbole con le soluzioni di cui al punto B) come assi. 
Ogni ramo che interseca la retta x=t e' fatto di due soluzioni 
distinte.

E) La soluzione si ottiene esplicitando t^2 + 2xt - x^2 = 2. 
Tale equazione per t=2 diventa 4+4x -x^2 = 2. Poiche' la soluzione 
e' crescente il valore cercato e' 2 + radice di sei.



Esercizio 3

A) Non ci sono zeri; ci sono poli di ordine 1 in z=+-ib  e in z=0.

B) Basta calcolare il residuo di f in z=ib, che viene 
-e^(-b)/(2b^2).

C) Basta porre g(z)=zf(z)-1/b^2.

D) Si osserva che sin x e' la parte immaginaria di e^(ix).
Si calcola l'integrale di cui al punto B) facendo il limite per 
r -> 0 ed R -> infinito. Il punto C) aiuta nel limite per r -> 0
e il limite per R -> infinito e' semplice. Alla fine viene 
Pi/b^2(1-1/e^b).