Matematica 3 - scritto di prova del 6/12/02 - soluzioni


Esercizio 1

A) no, d(omega) = dx dy dz

B) no, altrimenti lo sarebbe omega

C) va bene -omega

D) d(omega) = dx dy dz quindi si puo' cambiare superficie 
di integrazione scegliendo per esempio il disco unitario a 
livello z=0 e mettere in conto il volume di una mezza sfera.
Viene pi+2pi/3 = 5pi/3.

E) come in D) la stima dipende  dal fatto che d(omega) = dx dy dz 
e dal fatto che R e' bordo di un insieme che contiene la palla unitaria



Esercizio 2

A) Se |k|<=1 e' chiaro. Se k>1 e' chiaro su (-infinito,0].
Fisso k>1 ed osservo che x'> (x^2-1)/(t^2+2).  L'equazione
y'=(y^1-1)/(t^2+2) si risolve esplicitamente e scoppia a destra
di zero se il dato iniziale y(0)=k e' abbastanza grande, dunque
x scoppia se k e' grande.  Ripetendo la maggiorazione con punto
iniziale t0<<0 si vede che in realta' scoppia sempre.
Analogamente se k<-1.

B) I limiti esistono perche' le funzioni sono monotone.

C) Basta porre y(t)=-xk(-t), notare che y risolve l'equazione
e che y(0)=-k.

D) Naturalmente puo' essere dispari solo per k=0, ed il punto (B)
garantisce che lo e' davvero.  Se e' pari ha derivata nulla in 0,
dunque k=1 oppure k=-1.  Questi valori danno soluzioni costanti,
dunque vanno bene.

E) Calcolando x'' e sostituendo l'espressione di x' si trova
che x'' si annulla solo nei punti dove 2x=2t-sin(t). Poiche'
x decresce e 2t-sin(t) cresce, c'e' esattamente un punto siffatto
per ogni k.  Dunque la x e' concava su una semiretta (-infinito,b),
ha un flesso in t=b, poi e' convessa su (b,infinito).

F) Solo per k=-1. Infatti negli altri casi usando il confronto con rami di 
iperbole traslati si ottiene che il limite a +infinito delle soluzioni 
non costanti non e' mai +/-1. Si veda il file allegato per i dettagli.



Esercizio 3

A) Basta scegliere g tale che f(z) = (z-a1)^{n1} * g(z)

B) Basta scegliere g tale che f(z) = (z-p1)^{-m1} * g(z)

C) Basta scegliere g tale che 
f(z) = (z-a1)^{n1} ... (z-ak)^{nk} (z-p1)^{-m1} ... (z-ps)^{-ms} * g(z)

D) Segue subito dal punto precedente perche' g'/g e' olomorfa su Omega.

E) Segue ancora dal punto (C), per la stessa ragione.