Matematica III - Scritto del 5/6/03 - Soluzioni



Esercizio 1.

A) I due rami hanno in 0 derivata prima uguale ma derivata seconda diversa.

B) Lo sviluppo 1+2(x-1)+(x-1)^2 converge su tutto R ma fornisce il valore
di f solo per x>=0.

C) x(t)=1/(1-t) per t in (-infinito,1).

D) F(z)=2/z^3, integrando per parti.

E) -3.



Esercizio 2.

A) E' un ellissoide.  L'area è almeno il doppio di quella della sua 
proiezione sul piano xz, che è l'ellisse di semiassi 1/r e 1, che
tende a infinito per r->0.  Per r->infinito si proietta sull'asse yz.

B) (s,t) -> (s/r*cos(t),sr*sin(t),+-radice(1-s^2)).

C) Er è bordo di Ar che è simmetrico rispetto al piano yz, dunque
l'integrale è nullo, usando Stokes.

D) Viene +-vol(Ar), che fa sempre 4Pi/3.



Esercizio 3.

A) Facendo i conti si vede che deve essere costante

z^(a+2) * (1-z)^b * (-a+(1+a+b)z).

Dei tre fattori allora uno è costante e, degli altri due,
uno è due volte l'inverso dell'altro.  Certamente è 
costante uno dei primi due, dunque a=-2 oppure b=0.  Nel 
secondo caso non si trova nulla, nel primo si trova b=-1.

B) Somma di z^n per n da -2 a infinito, convergente per 0<|z|<1.

C) Per 0<|z-1|<1 e per |z-i|<1.

D) La curva avvolge 1 positivamente e 0 negativamente, quindi viene
la differenza dei residui, che sono uguali ad 1, dunque l'integrale
è nullo.