Matematica 3 - Scritto del 1/9/03 - Risoluzione degli esercizi.


Esercizio 1

A)  f(t) = integrale di radice di (1 + (4 + t^2) * (x^2 + y^2) ),
    mentre g(t) e' costante due terzi pi .
    Quindi entrambe le funzioni sono differenziabili in t.

B) + C) + D) Dal punto precedente segue che
    inf g(t) = sup g(t) = min g(t) = max g(t) = due terzi pi .
    Per quanto riguarda la funzione f, si vede subito che f(t) >= f(0), 
    che vale pi*(5^(3/2)-1)/6.  Quindi questo valore
    e' sia l'inf che il minimo di f. Per t che tende a infinito
    f(t) tende a infinito, quindi il sup e' infinito e non e' un massimo.




Esercizio 2

A)  Sono le combinazioni lineari di sin e cos.

B)  Usando per esempio il metodo della variazione delle constanti si trova
    che la soluzione generica e'
    x(t) = (-log(cos(t)) + a)sin(t) + (t + b)cos(t)
    con a,b costanti reali.

C)  Dal punto B) segue che la soluzione cercata e' quella con a=b=0, cioe'
    x(t)= -log(cos(t))sin(t) + t*cos(t).

D)  La soluzione non puo' essere definita su tutto R perche' log(cos(t))
    scoppia per t che tende a pi mezzi.




Esercizio 3

A) La funzione f ha due soli poli di ordine uno nei punti ic e -ic.

B) Dai residui, viene 0 per r<c, non definita per r=c, e -2pi*sinh(c)/c per r>c.

C) Dai residui, viene 0 per r<c, non definita per r=c, e pi/(c*e^c) per r>c.

D) Vengono rispettivamente zero e pi/(c*e^c).