Matematica III - Scritto del 01/02/03 - Risoluzione

Esercizio 1.

A) No.

B) Ogni f con la proprieta' richiesta e' della forma 
f(x,y)= -1/y -y/(x^2) +g(x).

C) Segue dall'argomento del punto precedente.

D) Parametrizzando l'ellisse con a*cos(t) + b*sin(t), la funzione 
da integrare risulta b/a-a/b.

E) F(a,b)=|2Pi*(b^2-a^2)/ab| ed il vincolo e' ab=Pi, dunque c'e'
minimo 0 mentre il sup e' +infinito.


Esercizio 2.

A) sin(x+t) e' limitata.

B) No perche' le rette del tipo x(t)= -t -Pi/2 +2k*Pi sono soluzioni 
e due soluzioni non si intersecano mai (per l'unicita' locale).

C) Le soluzioni polinomiali sono tutte e sole le rette di cui sopra.

D) Ponendo y(t)=x(t)+t la y e' soluzione dell'equazione
y'=1+sin(y) che tende sempre a un limite finito per t -> +-infinito.
Ne segue che ogni soluzione ha asintoti obliqui.

E) E' utile considerare la sostituzione del punto D). 
Nei punti in cui x'=0 si ha y'=1 dunque y=k*Pi, e ci sono due tali
punti.  Ne segue facilmente che ci sono un minimo e un massimo 
locali.


Esercizio 3

A) f(z)= p(zbar)/q(zbar) con p(x)=1-ix e q(x)=x-i.

B) Tutto il piano complesso tranne il punto -i.

C) Il disco unitario.

D) g(z) = z^4.

E) Va bene la composizione di g con f.