MATEMATICA III - A.A. 02/03 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 08/10/02 Limiti di successioni e completezza dei reali. Limsup e liminf. Limiti di funzioni. Funzioni con argomento e valori vettoriali, reali o complessi. L02(02) - 08/10/02 Successioni estratte. Continuita' e uniforme continuita'. Insiemi aperti e chiusi. Funzioni continue su chiusi limitati. E01(03) - 08/10/02 Esercizi sui limiti di funzioni. L03(04) - 09/10/02 Teorema degli zeri. Nozioni di "o" (piccolo) e "O" (grande). Derivazione e polinomio approssimante di Taylor in una variabile. Gradiente e matrice jacobiana in piu' variabili. Jacobiana di una composta. L04(05) - 09/10/02 Polinomio di Taylor del secondo ordine per funzioni scalari a variabile vettoriale. Criteri per la ricerca del massimo. Integrazione in una variabile. Cambio di variabile. Integrali impropri. Coordinate polari. L05(06) - 10/10/02 Integrazione in piu' variabili. Integrazione su regioni comprese tra due grafici. Cambio di variabile. Coordinate sferiche. Integrali impropri. L06(07) - 10/10/02 Curve e lunghezza di curve. Integrazione di funzioni su curve. 1-forme loro integrazione su curve. Differenziale di una funzione. Integrazione di un differenziale. Cambiamento di parametro. L07(08) - 11/10/02 Teorema di Jordan. Elemento d'area con segno. Differenziale di una 1-forma. Orientazione del bordo di un insieme. Enunciato del teorema di Stokes. Differenziale secondo di una funzione. Integrazione di una forma con differenziale nullo su una curva. E02(09) - 11/10/02 Esercizi sui limiti di successioni. E03(10) - 15/10/02 Curve nel piano, lunghezza di una curva, integrali di funzioni su curve. E04(11) - 15/10/02 Forme differenziali, integrazione di 1-forme su curve, esempi ed applicazioni del terorema di Stokes. Esempio di una 1-forma chiusa ma non esatta. L08(12) - 15/10/02 Dimostrazione del teorema di Stokes per rettangoli, cenno al caso generale. Teorema della divergenza. Il problema della ricerca del potenziale. Definizione alternativa di chiusura. L09(13) - 16/10/02 Esattezza delle forme con integrale nullo sulle curve chiuse. Insiemi semplicemente connessi. E05(14) - 16/10/02 Esercizi sulle successioni e l'integrazione. Insiemi connessi. L10(15) - 17/10/02 Superfici e parametrizzazioni locali. Area di una superficie. Indipendenza dalla parametrizzazione. L11(16) - 17/10/02 Integrazione di funzioni su superfici. Integrazione di 2-forme su superfici. Indipendenza dalla parametrizzazione per cambiamenti con determinante jacobiano positivo. E06(17) - 22/10/02 Forme chiuse e forme esatte. Applicazioni del teorema della divergenza, laplaciano come divergenza del gradiente, funzioni armoniche. E07(18) - 22/10/02 Parametrizzazioni di superfici, area di superfici nello spazio. Integrazione di 2-forme su superfici parametrizzate. L12(19) - 22/10/02 Orientazione di una superficie. Integrazione di una 2-forma su una superficie parametrizzata. Differenziale di una 1-forma e di una 2-forma nello spazio. L13(20) - 23/10/02 Orientazione come vettore normale. Orientazione della superficie che borda un insieme e della curva che borda una superficie. Teoremi di Stokes tridimensionali. E08(21) - 23/10/02 Esercizi sulle successioni e sull'integrazione di 1-forme. L14(22) - 24/10/02 Chiusura ed esattezza di 1-forme e di 2-forme su insiemi dello spazio tridimensionale. Teorema della divergenza tridimensionale. Teorema del rotore. L15(23) - 24/10/02 Formula di Stokes in dimensione qualsiasi come analoga dell'integrazione per parti. Insiemi di livello di una funzione. Teorema del Dini. L16(24) - 25/10/02 Vettore normale a una curva. Curve come grafici locali. Teoremi del Dini tridimensionali (definizione implicita di superfici e curve nello spazio). E09(25) - 25/10/02 Esercizi di integrazione di forme e funzioni su curve e superfici. Formula di Guldino. E10(26) - 29/10/02 Esercizi su: integrazione di forme su varieta', formula del rotore e della divergenza. E11(27) - 29/10/02 Esercizi su: curve e superfici di livello, applicazioni del teorema del Dini. L17(28) - 29/10/02 Moltiplicatori di Lagrange. Teorema di invertibilita' locale. E12(29) - 30/10/02 Esercizi di integrazione e sulle forme. Parametrizzazione di curve definite da equazioni. E13(30) - 30/10/02 Calcolo di aree e lunghezze. Parametrizzazione di superfici definite da equazioni. L18(31) - 31/10/02 Equazioni differenziali, problema di Cauchy. Regolarita' della soluzione con equazione regolare. Enunciato del teorema di esistenza e unicita' locale per equazioni del primo ordine. L19(32) - 31/10/02 Stime a priori e intervallo massimale di esistenza della soluzione. Sistemi di equazioni differenziali e riduzione dell'ordine. Esistenza e unicita' locale per sistemi e per ordine superiore. Equazioni del prim'ordine lineari ed esatte. E14(33) - 05/11/02 Esercizi su: integrazione di forme differenziali, aree e volumi. E15(34) - 05/11/02 Esercizi su: moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati. E16(35) - 05/11/02 Esercizi su: equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni lineari (a coefficienti non costanti) omogenee e non. E17(36) - 06/11/02 Teorema del confronto. Teorema di esistenza globale. E18(37) - 06/11/02 Esercizi su: studio qualitativo di equazioni differenziali. L20(38) - 07/11/02 Equazioni a variabili separabili. Generalita' sulle equazioni lineari. Teorema di esistenza. L21(39) - 07/11/02 Caratterizzazione dell'indipendenza lineare tramite il wronskiano. Equazioni lineari non omogenee. L22(40) - 08/11/02 Metodo della variazione delle costanti. L23(41) - 08/11/02 Equazioni a coefficienti costanti. E19(42) - 12/11/02 Esercizi su: studio qualitativo di equazioni differenziali. L24(43) - 12/11/02 Riduzione dell'ordine di una equazione lineare usando una soluzione particolare. Oscillatore armonico. Enunciato del teorema di dipendenza continua dai dati iniziali. L25(44) - 12/11/02 Sistemi 2x2 autonomi. Cambio della matrice per coniugio, discussione completa dei sistemi lineari. Teorema di linearizzazione. L26(45) - 13/11/02 Equazioni alle differenze. Generalita', caso lineare, caso a coefficienti costanti. E20(46) - 13/11/02 Esercizi sulle equazioni differenziali del prim'ordine. E21(47) - 14/11/02 Studi qualitativi di equazioni differenziali. L27(48) - 14/11/02 Serie numeriche. Convergenza e assoluta convergenza, criteri di convergenza. Riordinamento e associazione dei termini. Serie armoniche e geometriche. L28(49) - 15/11/02 Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Conservazione o meno della continuita'. Serie di funzioni con norma sommabile. L29(50) - 15/11/02 Derivabilita' di serie di funzioni con derivate sommabili in norma. Serie di potenze. Raggio di convergenza e sue caratterizzazioni. Convergenza uniforme all'interno dell'intervallo di convergenza. E22(51) - 19/11/02 Esercizi su equazioni alle differenze. L30(52) - 19/11/02 Metodi di calcolo del raggio di convergenza. Derivazione di una serie di potenze. Funzioni analitiche. L31(53) - 19/11/02 Funzioni di variabile complessa. Ramificazione della funzione radice. Serie numeriche e di potenze complesse. Raggio e disco di convergenza. L32(54) - 20/11/02 Funzioni esponenziale, trogonometriche ed iperboliche sul piano complesso. Studio della funzione seno. L33(55) - 20/11/02 Integrazione di forme su curve nel piano complesso. L34(56) - 21/11/02 Derivazione in senso complesso. Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Armoniche coniungate. L35(57) - 21/11/02 Derivabilita' delle somme delle serie di potenze. Derivazione rispetto alla variabile complessa e alla sua coniugata. E23(58) - 21/11/02 Esercizi sulle serie di potenze. E24(59) - 21/11/02 Esercizi sulle funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe, integrazione di forme complesse. E25(60) - 26/11/02 Integrazione di 1-forme complesse su cammini chiusi. L36(61) - 26/11/02 Significato algebrico e geometrico delle equazioni di Cauchy-Riemann. L37(62) - 26/11/02 Differenziazione di forme e funzioni in senso complesso. Teorema di Cauchy-Goursat e sue conseguenze. L38(63) - 27/11/02 Formula di rappresentazione di Cauchy. Analiticita' delle funzioni olomorfe. E26(64) - 27/11/02 Esercizi sulle successioni e serie di funzioni. E27(65) - 28/11/02 Esercizi sulle successioni e serie di funzioni. L39(66) - 28/11/02 Limite uniforme di funzioni olomorfe. Principio del massimo. Disuguaglianze di Cauchy. Funzioni limitate olomorfe sul piano. Teorema fondamentale dell'algebra. Primi due principi di identita'. E28(67) - 28/11/02 Esercizi su funzioni di una variabile complessa. E29(68) - 28/11/02 Rette e circonferenze nel piano complesso. L40(69) - 29/11/02 Terzo principio di indentita'. Ordine di uno zero. Sviluppo di Laurent. L41(70) - 29/11/02 Coefficienti dello sviluppo di Laurent e sua convergenza. Singolarita' eliminabili, poli, singolarita' essenziali. E30(71) - 03/12/02 Esercizi su funzioni meromorfe. E31(72) - 03/12/02 Risoluzione di un testo di esame sulle funzioni di una variabile complessa. L42(73) - 03/12/02 Teorema di estensione di Riemann. Modulo di una funzione olomorfa presso una singolarita'. Insieme di convergenza di una serie di Laurent. Completamento del piano complesso con il punto infinito. L43(74) - 04/12/02 Interpretazione geometrica sulla sfera dell'inversione. Estensione e singolarita' all'infinito di una funzione olomorfa. Residui, teorema dei residui e metodi di calcolo. E32(75) - 04/12/02 Esercizi sulle funzioni di variabile complessa. L44(76) - 05/12/02 Calcolo di integrali reali tramite il teorema dei residui. E33(77) - 05/12/02 Esercizi di integrazione di forme complesse. L45(78) - 06/12/02 Integrale si sin(x)/x. Approssimazione di funzioni. Funzioni trigonometriche. Prodotti scalari. Coordinate della migliore approssimazione tramite vettori ortogonali. L46(79) - 06/12/02 Disuguaglianza di Bessel. Funzioni periodiche. Ortogonalita' delle funzioni esponenziali complesse. Coefficienti di Fourier, approssimazione di Fourier. E34(80) - 10/12/02 Calcolo della somma di alcune serie numeriche via serie di Fourier. E35(81) - 10/12/02 Svolgimento di un testo di esame sulle funzioni complesse. L47(82) - 10/12/02 Corrispondenza tra funzioni e successioni a quadrato sommabile. Completezza dello spazio di queste ultime. Limiti, nel senso dell'integrale, di funzioni continue e continue a tratti. L48(83) - 11/12/02 Serie di Fourier reale. Nucleo di Dirichlet. Lemma di Riemann-Lebesgue. Criterio di convergenza del Dini. Convergenza uniforme per funzioni derivabili. E36(84) - 11/12/02 Esercizi di variabile complessa. E37(85) - 12/12/02 Esercizi sulla serie di Fourier. L49(86) - 12/12/02 Derivazione ed integrazione termine a termine della serie di Fourier. E38(87) - 13/12/02 Equazione del calore. Equazione di Laplace. Legame tra funzioni olomorfe e serie di Fourier. L50(88) - 13/12/02 Fenomeno di Gibbs. Convoluzione. Convergenza in norma quadratica. L51(89) - 18/12/02 Definizione e condizioni di esistenza della trasformazione di Fourier e delle trasformazione inversa. L52(90) - 18/12/02 Proprieta' della trasformazione di Fourier. L53(91) - 19/12/02 Trasformazioni di Laplace, Mellin, Zeta. E39(92) - 19/12/02 Equazioni del calore e di Laplace sulla retta. Esercizi sulla trasformazione di Fourier. E40(93) - 20/12/02 Esercizi sulla trasformazione di Fourier. E41(94) - 20/12/02 Esercizi sulla trasformazione di Laplace.