Matematica II - Scritto del 21/06/2003   -   Risoluzioni


Esercizio 1.

(A) Il Ker di As è generato da (0,-s,1).

(B) Con il metodo spiegato nelle dispense si ottiene 
    la seguente equazione per Im As: sx1+sx2+(1+s^2)x3=0.

(C) Basta verificare che As(v)=v per ogni vettore colonna v
    di As, cosa che si fa con un calcolo diretto.

(D) Per il punto precedente, Im As è contenuto nell'autospazio
    di As relativo all'autovalore 1. Dunque Im As e Ker As si 
    intersecano solo nello 0, e sono pertanto in somma diretta. 
    Poiche' la somma delle dimensioni di Im As e di Ker As è 3, 
    dalla formula di Grassmann segue che Im As e Ker As generano
    R^3.

(E) Per avere una base di autovettori per As basta unire 
    una base di Ker As e una base di Im As. Si ottiene
    per esempio {(0,-s,1),(1,s^2,-s},(0,1+s^2,-s)}.

(F) Basta imporre che i vettori di una base di Im As siano 
    ortogonali al generatore di Ker As. Si ottiene s=0.


Esercizio 2. 

(A) La seconda equazione nella definizione di V1 si ottiene 
    moltiplicando la prima per (1+i). Dunque V1 ha dimensione 2.
    V1={(1,0,1)+t(i,1,0)+s(1,0,-1), al variare di t e s in C}.
    
(B) dim V2=2. Una sua equazione è data da iz1+z2-z3=2i.

(C) Risolvendo il sistema dato dalle equazioni cartesiane per V1 
    e per V2 si ottiene la parametrizzazione di r: 
    r={(2,0,0)+t(i,1,0), al variare di t in C}. Dunque dim r=1.

(D) I coniugati delle coordinate della direzione di r danno 
    i coefficienti dell'equazione che definisce H. Unendo tale 
    equazione a quelle che definiscono r si ottiene il sistema la cui 
    soluzione dà le coordinate di P. Si ottiene P=(1,i,0). 

(E) Sia Q un punto di r. Allora ||Q||^2=||Q-P+P||^2=
    =||Q-P||^2+2Re<Q-P,P>+||P||^2. Ora <Q-P,P>=0 poiche' P appartiene 
    a H, che è ortogonale a r. Dunque ||Q||^2 è maggiore o uguale a
    ||P||^2, ed è uguale se e solo se ||Q-P||^2=0, cioè se Q=P.


Esercizio 3.

(A) La matrice è    -k   -2k    -1
                     k    2k     1
                     0     0   k^2.

(B) Bisogna trovare un polinomio le cui coordinate canoniche diano
    un vettore nel Ker della matrice al punto (A).
    Si ottiene p0=x-2.

(C) Bisogna trovare un polinomio le cui coordinate canoniche diano
    un autovettore per la matrice al punto (A) 
    relativo all'autovalore k.
    Si ottiene p1=x-1.

(D) Sia B={p0,p1,x^2} una base dei polinomi di grado minore 
    o uguale a 2. Sfruttando i punti precedenti, si scrive 
    facilmente la matrice che rappresenta fk nella base B, 
    ottenendo

    0     0    0
    0     k    1
    0     0   k^2
    
    Si conclude facilmente che se k è diverso da k^2, la matrice 
    è diagonalizzabile. Se k=k^2, la molteplicità algebrica 
    dell'autovalore k è strettamente maggiore della sua molteplicità 
    geometrica, per cui la matrice non è diagonalizzabile.
    In definitiva fk è diagonalizzabile se e solo se 
    k è diverso da 0 e 1.