Geometria e Algebra - Scritto del 15/02/03 - Risoluzione



Esercizio 1

(A) Il determinante fa (k-2)(3-2k), dunque k0=3/2 e k1=2.

(B) E' 3 in etrambi i casi (vedere la sottomatice in alto a sinistra).

(C) Ker(Ak0)=Span(6,4,1,-4), Ker(Ak1)=Span(2,1,0,-1).

(D) Basta vedere che (2,1,0,-1) e' ortogonale a 
(0,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,2).

(E) Per quanto sopra, una equazione e' 2x1+x2=x4.


Esercizio 2

(A) (0,1,1)

(B) (1,i,0)

(C) Si pone naturalmente v1=(1,i,0) e v3=(0,1,1). Posto v2=(a,b,c) 
bisogna risolvere fk(a,b,c)=2k*v1+2*v2=(2k+2a,2ik+2b,2c).  
Si trova per esempio v2=(i,0,-1).

(D) Per quanto sopra, e' diagonalizzabile esattamente per k diverso da 0.


Esercizio 3

(A) Risolvendo a0=a0+a1+a2+a3=a0+2a1+4a2+8a3=0 si trova 
Ker(f)=Span(2x-3x^2+x^3).

(B) Poiche' Wt ha sempre dimensione 3, cio' accade esattamente 
se Wt contiene Ker(f), dunque se 2t-6=0, cioe' t=3.  W3 e' 
generato da 1,2x-3x^2,x^3.

(C) Esaminando l'immagine di 1 e 2x-3x^2 si trova l'equazione 
7y1+y3=8y2 (con y coordinate su R^3).

(D) Basta notare che la restrizione di f a Wt e' lineare e 
bigettiva con R^3.  Quindi si prende l'inversa.

(E) Bisogna trovare p(x) in Wt con f(p(x))=(t,2,4-3t).  
La soluzione e' t+2x-tx^2.