Geometria e Algebra - Scritto del 13/09/03 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) Poiche' A e' simmetrica, l'applicazione g e' simmetrica. 
    I determinanti dei minori dati dalle prime n righe e n colonne 
    valgono 1,5,1 rispettivamente per n=1,2,3. 
    Dunque per il criterio di Jacobi l'applicazione g e' definita positiva.

(B) Vs={t(s+1,-s^2+s,s-1) al variare di t in R}. 
    W={t(2,-1,2) al variare di t in R}.

(C) Il prodotto del trasposto di (s0+1,-s0^2+s0,s0-1) per A per (2,-1,2)
    deve dare 0. Si ottiene -(s0-1)^2=0, dunque s0=1.

(D) Usando il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt applicato a
    (1,0,0), (2,-1,2), (0,1,0) si ottiene la base 
    ((1,0,0),(2,-1,2),(-1,1,-1)).

(E) w1=(2,-1,2), w2=(0,1,0).

Esercizio 2

(A) La matrice che rappresenta flambda nella base canonica ha determinante 
    uguale a 2lambda^2+4i, che si annulla per lambda0=1-i, lambda1=-1+i.

(B) Ker(flambda0)={t(i,1+i,1), t in C}.
    Ker(flambda1)={t(i,-1-i,1), t in C}.

(C) Im(flambda0)={2iz1+2iz2-(1+i)z3=0}.
    Im(flambda1)={2iz1+2iz2+(1+i)z3=0}.

(D) H={t(1-i,0,1+i), t in C}.

(E) Siano v0 un vettore unitario in Ker(flambda0), v1 un vettore unitario
    in Ker(flambda1) e w un vettore unitario in H. Per il punto (B),
    v0 e' ortogonale a v1. Inoltre per costruzione w e' ortogonale sia 
    a v0 sia a v1, dunque B=(v0,v1,w) e' una base ortonormale di C^3.
    Sia g l'unica applicazione lineare tale che g(v0)=w, g(v1)=v1, g(w)=v0.
    Poiche' g porta una base ortonormale in una base ortonormale, g e' un'isometria.


Esercizio 3

(A) Svolgendo i calcoli si ottiene la matrice

     1     2     -1
    -k    2k+3   -k-1
    -2k   4k+2   -2k 

(B) Risolvendo il sistema, si ottiene che p1(t) ha coordinate (0,1,2).
    Dunque p1(t)=t+2t^2.

(C) Come per il punto precedente, p2(t)=1+t+t^2.

(D) Svolgendo i conti si ottiene la matrice

     1    0    0
    -k    1    0
     0    0    2

(E) Per il punto precedente, se k=0 l'applicazione e' diagonalizzabile.
    Se k e' diverso da 0, l'autovalore 1 ha molteplicita' algebrica 2 
    e molteplicita' geometrica 1, per cui fk non e' diagonalizzabile.