Matematica II - Scritto del 12/07/2003   -   Risoluzioni

Esercizio 1.

(A) fA(B)=0 se e solo se ABv=0 per ogni v in R^n, cioè se
    e solo se Bv appartiene al Ker di A per ogni v.

(B) Per il punto precedente, Ker fA coincide con lo spazio
    delle applicazioni lineari B da R^n a Ker A.
    La dimensione di questo spazio è il prodotto delle dimensioni
    di R^n e di Ker A, cioè n x dim Ker A. Dunque fA è invertibile
    se e solo se il suo Ker ha dimensione 0, se e solo se dim Ker A=0,
    se e solo se A è invertibile.

(C) Scrivendo la formula che esprime il coefficiente ij-esimo di AB in
    funzione dei coefficienti di A e di B, si verifica facilmente 
    il fatto seguente:
    se Eij è la matrice con tutti zeri eccetto che nel posto ij-esimo,
    allora Ekk x Eij=Eij se k=i, e 0 altrimenti. La tesi si ottiene
    a questo punto osservando che una matrice diagonale è combinazione 
    lineare di matrici del tipo Ekk.

(D) Sia D una matrice tale che DAD^(-1) sia diagonale. Allora
    per il punto precedente DAD^(-1)Eij=a*Eij, dove a è un numero
    reale che dipende da i e j. Moltiplicando a sinistra per D^(-1), si 
    ottiene AD^(-1)Eij=kD^(-1)Eij, per cui le matrici D^(-1)Eij sono 
    autovettori per fA. Per il punto (B) applicato con A=D^(-1), tali 
    matrici sono una base dello spazio di tutte le matrici nxn. Dunque fA 
    ammette una base di autovettori, ed è pertanto diagonalizzabile.


Esercizio 2.

(A) V={x1+x3=4}.

(B) r={(2,1,0)+t(-1,1,1), t in R}.

(C) Il generatore della giacitura di r verifica l'equazione lineare
    associata all'equazione cartesiana di V.

(D) I coefficienti delle equazioni che definiscono s sono dati 
    dalle coordinate dei vettori che generano la giacitura di V.
    L'equazione di W si ottiene cambiando il termine noto dell'equazione
    cartesiana di V, in modo tale che i punti di r la verifichino.
    Si ottiene s={-x1+x3=0, x1-x2-x3=0}, W={x1+x3=2}, da cui
    P1=(1,0,1), P2=(2,0,2).

(E) Sia B={(1,0,1),(1,0,-1),(0,1,0)}. La matrice che rappresenta f nella
    base B è data da

    2   0   0
    0   1   0
    0   0   1.


Esercizio 3.

(A) No comment.

(B) Siano a0,a1,a2 i coefficienti di p(x) di grado 0,1 e 2
    rispettivamente. Allora p(x) appartiene a Vk se e solo se
    (a0)^2+(a0+ka1+k^2a2)^2=0, cioè se e solo se 
    a0=0 e a0+ka1+k^2a2=0. Tali equazioni sono lineari. Esse
    sono inoltre indipendenti, a meno che sia k=0. Ne segue che 
    Vk è un sottospazio vettoriale, di dimensione 2 se k=0 e
    di dimensione 1 altrimenti.

(C) Risolvendo le equazioni al punto precedente, si ottiene che
    Vk è generato da x^2-kx se k è diverso da 0, e da {x,x^2} se
    k=0.

(D) Segue banalmente da (C).

(E) Bisogna dimostrare che gh,k è definita positiva. 
    Supponiamo che gh,k(p(x),p(x)) sia minore
    o uguale a 0. Per il punto (A), allora, si ha 
    gk(p(x),p(x))=gh(p(x),p(x))=0, per cui p(x) appartiene sia 
    a Vh sia a Vk. Ma siccome h e k sono non nulli, dai punti
    (B) e (D) segue che p(x)=0, per cui gh,k è definita positiva.