Geometria e Algebra - Scritto del 11/01/03 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) Imponendo fk(v)=2kv per ogni k si ottiene v=(1,1,0).

(B) W=Span((1,-1,0),(0,0,1)) e 
fk((1,-1,0))=(2,-2,-4k)=2(1,-1,0)-4k(0,0,1),
fk((0,0,1))=(k,-k,2)=k(1,-1,0)+2(0,0,1).

(B) Il polinomio caratteristico di fk e' (t-2k)((t-2)^2+4k^2)),
per cui ha tutte le radici reali solo se k=0. Dunque se k e' diverso
da 0 fk non e' diagonalizzabile. Inoltre, quando k=0  il polinomio
caratteristico e' t(t-2)^2 e si ha
dim(ker(2Id-f0))=2, per cui f0 e' effettivamente  diagonalizzabile.

(D) Abbiamo visto al punto (C) che se k e' diverso da 0 allora fk
ha un solo autospazio, quello generato da vbar. Se fk(W')=W' si ha

fk(W intersez W') contenuto in fk(W) intersez fk(W') = W intersez W'

ma fk e' iniettiva e, se W' diverso da W, (W intersez W') e' una 
retta, dunque fk(W intersez W')=W intersez W'. Tale sottospazio 
allora sarebbe un autospazio per fk, e dovrebbe contenere vbar. 
Ma W non contiene vbar, per cui si ha un assurdo.

Esercizio 2

(A) fr e' sempre bilineare ed e' simmetrica se e solo se Br e' 
simmetrica, quindi per r=0,1.

(B) Usando la regola dei determinanti si vede che f0 e' definita 
positiva, mentre f1 non lo e'.

(C) Tramite il procedimento di Gram-Schmidt applicato alla base
canonica si ottiene la base ortonormale (1,0,0),(0,1,0),(0,-1,1)

(D) La matrice che rappresenta la forma bilineare g e' data da 
B1+Id. Applicando la regola dei determinanti a questa matrice si 
ottiene che g e' definita positiva.


Esercizio 3

(A) Sia As la matrice dei coefficienti del sistema che definisce Vs.
La sottomatrice 2x2 data dalle prime due righe e dalle prime due 
colonne di As e' invertibile. I determinanti delle sue orlate 
sono s^2+1 e s(1-is), per cui il rango di As e' 2 quando s=-i e 3 
altrimenti. Dunque la dimensione di Vs e' sempre 1, tranne che 
per s=-i, e in tal caso e' 2.

(B) V0=Span((0,1,0,-1)), V(-i)=Span((i,0,1,0),(1,i-1,0,1)) 

(C) I coniugati delle coordinate del generatore V0 danno i 
coefficienti dell'equazione cartesiana dell'ortogonale di V0. 
Mettendo questa equazione a sistema con le equazioni cartesiane 
di V(-i) si ottiene che la dimensione cercata e' 1 e vbar e' un 
qualsiasi multiplo di (i,0,1,0)

(D) Si estende vbar a una base (vbar,v1,v2) dell'ortogonale di V0 
e a una base (vbar,v3) di V(-i). Ora (vbar,v1,v2,v3) e' una base 
di C^4. Basta porre ad esempio g(vbar)=vbar, g(v3)=(v1), g(v1)=v3, 
g(v2)=v2.