Geometria e Algebra - Scritto del 5/6/03 - Soluzioni


Esercizio 1.

A) Ortonormalizzando (v1,v2) vengono (w1,w2) dove
w1=(1,2,0,2)/3, w2=(2,1,3,-2)/3rad(2), dunque [pi] è

1/3 1/3 1/3 0
1/3 1/2 1/6 1/3
1/3 1/6 1/2 -1/3
0   1/3 -1/3    2/3

B) f è nell'insieme se e solo se si annulla su v1,v2,v3 che sono 
indipendenti, dunque la dimensione è 4

C) f è nell'insieme se e solo se ha immagine contenuta nel piano 
generato da v1 e v2 ed inoltre f(v3) sta nell'unica retta che
su tale piano è ortogonale a v3, dunque la dimensione è 7.



Esercizio 2.

gv(e1+e2)=e1+e2=2e1-(e1-e2), gv(e2)=e1-v=(1-v1-v2)e1+v2(e1-e2)
dunque f(v)=    2   1-v1-v2
        -1  v2

A,B)    F(v) =  0   -v1-v2
        0   v2

C)  0   0   
    -1  -1
    0   0
    0   1

D) La condizione è che si annulli il determinante di 
1   1-v1-v2
-1  v2-1
dunque viene la retta v1=0

E) f(0) =   2   1
        -1  0

ha autovalore 1 doppio ma non è l'identità, dunque no.

f(-2e2) =   2   3
        -1  -2

ha autovalori 1 e -1, dunque sì.

f(-2e1-2e2) =   2   5
        -1  -2

ha autovalori non reali, dunque no.


Esercizio 3.

A) Deve essere |z-1|^2+i*z+i*zbar=0 dunque |z-1|^2=-i(z+zbar)=-2iRe(z)
e questo non può mai accadere.

B) Se z=1 torna.  Altrimenti dovrebbero essere uguali, e non torna.

C) Per la seconda coordinata, deve essere f(z)=izg(w), dunque
z-1=iz(w-1), i=izw e l'unica soluzione è z=w=1.

D) z1+z2-z3=0.

E) (1,1,i)/rad(3).