Geometria e Algebra - Scritto del 01/02/03 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) Se Ak e' la matrice dei coefficienti del sistema, allora 
det Ak=k^3-k^2. Dunque se k e' diverso da 0 o 1 il sistema ha 
un'unica soluzione. Applicando il Teorema di Rouche'-Capelli 
si verifica che per k=0 il sistema non ha soluzione, dunque k0=0.

(B) Se k=1, allora sia la matrice dei coefficienti A1 sia la 
matrice ottenuta accostando ad A1 la colonna dei termini noti 
hanno rango 3. Dunque per il Teorema di Rouche'-Capelli k1=1 e 
Ek1 ha dimensione uguale a 1.

(C) Ek1={(1,0,0,-1)+t(-1,1,1,0): t in R} 

(D) Mettendo a sistema le equazioni che definiscono E1 e 
l'ortogonale di W si ottiene P=(2/3,1/3,1/3,-1)

(E) Sia h(t)=|(1,0,0,-1)+t(-1,1,1,0)|^2. Calcolando esplicitamente 
si ottiene h(t)=3t^2-2t+2, che ha minimo in t=1/3. Dunque il punto 
di minima distanza e'  (1,0,0,-1)+(-1,1,1,0)/3=(2/3,1/3,1/3,-1)=P.


Esercizio 2

(A) La matrice  1    0    1  delle coordinate dei vettori di B 
                0    -1   1         
                2    1    2 

rispetto alla base canonica e' invertibile.

(B) La matrice e'    2    4      -1 
                     0    -k     -1
                     4    k+8    -2

(C) La matrice e'    2    4    0
                     0    k    0
                     0    0    -1

(D) Il polinomio caratteristico di fk e' (t-2)(t+1)(t-k), per cui 
se k e' diverso da 2 e -1 fk ha tre autovalori distinti ed e' 
percio' diagonalizzabile. Se k=-1, dim(Ker(Ak+Id))=2, per cui fk e' 
diagonalizzabile. Se k=2, dim(Ker(Ak-2Id))=1, per cui fk non e' 
diagonalizzabile. In definitiva, fk e' diagonalizzabile se e solo 
se k e' diverso da 2.

(E) B=((1,0,2),(1,1,2),(4,2-k,k+6))           
    

Esercizio 3

(A) Il primo e' s, il secondo e' 3.

(B) fs e' sempre bilineare. Se e' simmetrica, per il punto (A) s=3. 
Se s=3, allora Ns e' simmetrica e percio' 
fs(A,B)=tr(tA Ns B)=tr(t(tA Ns B))= 
tr(tB tNs A)=tr(tB Ns A)=fs(B,A).

(C) X e' invertibile, percio' l'inversa di g e' data da 
g^(-1)(A)=X^(-1)A.

(D) Si ha tX N3 X=Id, per cui 
f3((g(A),g(B))=tr(t(XA) N3 XB)=tr(tA tX N3 X B)=tr(tAB). 
Dunque se Y e' diversa da 0, allora XY e' diversa da 0
perche' X e' invertibile e f3(Y,Y)=<XY,XY> > 0. 

(E) Per il punto precedente, una base ortonormale si ottiene 
applicando g ad una base ortonormale rispetto al prodotto scalare 
standard. Siccome la base canonica (e11,e12,e21,e22) e' ortonormale 
rispetto al prodotto standard, la base richiesta e' 
(Xe11,Xe12,Xe21,Xe22).