GEOMETRIA E ALGEBRA - A.A. 02/03 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 09/10/02 Risultante tra forze e sue proprieta' algebriche. Traslazione e omotetia nel piano. Introduzione di somma e moltiplicazione per forze e per vettori colonna. L02(02) - 09/10/02 Rotazione nel piano. Matrice della rotazione. Composizione di due rotazioni. Prodotto tra matrici. Intersezione tra rette. Numeri di Fibonacci. Proprieta' algebriche dei numeri naturali e interi. Introduzione dei razionali. L03(03) - 10/10/02 I numeri reali. Campi e gruppi commutativi. Polinomi, grado, somma, prodotto. Dimostrazioni per assurdo e per induzione, con esempi. L04(04) - 11/10/02 Definizione di spazio vettoriale. Conseguenze degli assiomi. Spazi di vettori colonna, di matrici, di funzioni. E01(05) - 11/10/02 Esercizi sui polinomi ed il principio di induzione. L05(06) - 16/10/02 Definizione ed esempi di sottospazio vettoriale. L06(07) - 16/10/02 Combinazione lineare, sottospazio generato da un insieme. E02(08) - 17/10/02 Esercizi su sottospazi e sottospazi generati. Classificazione dei sottospazi del piano. L07(09) - 23/10/02 Indipendenza lineare, basi, coordinate, definizione di dimensione. E03(10) - 23/10/02 Esercizi su sottospazi generati e indipendenza lineare. L08(11) - 24/10/02 Corrispondenza tra uno spazio vettoriale e quello ordinario data una base. Buona definizione della dimensione. Spazi vettoriali aventi dimensione uguale. L09(12) - 25/10/02 Estrazione di una base da un insieme di generatori e completamento a base di un insieme di vettori linearmente indipendenti. E04(13) - 25/10/02 Calcolo delle dimensioni di alcuni sottospazi dello spazio tridimensionale ordinario. L10(14) - 30/10/02 Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, nucleo, immagine. E05(15) - 30/10/02 Esercizi sulla dimensione di un sottospazio. E06(16) - 31/10/02 Formula di Grassman: calcolo delle dimensioni dei sottospazi delle matrici simmetriche ed antisimmetriche. E07(17) - 06/11/02 Esempi di applicazioni lineari. Calcolo esplicito del Ker e dell'immagine di un'applicazione di R^3 in se'. L11(18) - 06/11/02 Formula della dimensione e sue conseguenze. E08(19) - 07/11/02 Prodotto tra una matrice ed un vettore. Applicazione lineare associata ad una matrice. Calcolo delle dimensioni del Ker e dell'immagine dell'applicazione associata ad una matrice reale 4x4. L12(20) - 08/11/02 Prodotto righe per colonne tra matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Proprieta' algebriche del prodotto righe per colonne. L13(21) - 08/11/02 Lo spazio delle applicazioni lineari. L14(22) - 13/11/02 Applicazioni lineari tra spazi di vettori numerici. Dimensione dello spazio delle applicazioni lineari. L15(23) - 13/11/02 Matrice associata ad una applicazione lineare e sua azione sulle coordinate. E09(24) - 14/11/02 Esercizi sulle applicazioni lineari e le matrici. L16(25) - 15/11/02 Corrispondenza biunivoca tra applicazioni e matrici assegnate le basi. Applicazione inversa e matrice inversa. Legame tra due basi di uno stesso spazio. Regole di cambiamento per le coordinate e la matrice di una applicazione. E10(26) - 15/11/02 Esercizi sulle applicazioni lineari e le matrici associate. L17(27) - 20/11/02 Sistemi lineari. Rango. Teorema di Rouche'-Capelli. Legame tra sistemi omogenei e non omogenei. Determinante 2x2. L18(28) - 20/11/02 Determinante 3x3. Assiomi per il determinante nxn. Analisi algebrica della funzione determinante 2x2 e 3x3. Permutazioni, trasposizioni, segnatura. L19(29) - 21/11/02 Formula generale del determinante. Determinante della trasposta. Sviluppi di Laplace. Invertibilita' delle matrici con determinante non nullo. L20(30) - 22/11/02 Inversa di una matrice con determinante non nullo. Regola di Cramer. Teorema degli orlati e suo uso per il calcolo del rango. Rango per righe. E11(31) - 22/11/02 Esercizi sulla matrice associata ad un'applicazione lineare e sul cambiamento di base. L21(32) - 27/11/02 Sottospazi affini di uno spazio vettoriale. Equazioni cartesiane e parametriche. L22(33) - 27/11/02 Rette e piani in dimensione due e tre. Sottospazi paralleli, somma di sottospazi. L23(34) - 28/11/02 Analogo per sottospazi affini della formula di Grassmann. Unita' immaginaria. Operazioni sui numeri complessi. Il campo complesso. Parte reale e immaginaria. L24(35) - 29/11/02 Coniugio e modulo. Disuguaglianza triangolare. Forma polare. Argomento. Interpretazione geometrica del prodotto. Esponenziale di un numero immaginario puro. E12(36) - 29/11/02 Esercizi sulle equazioni cartesiane e parametriche. L25(37) - 04/12/02 Polinomi complessi. Radici dell'unita' e di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra. Molteplicita' di una radice. L26(38) - 04/12/02 Prodotto scalare canonico nel piano. Applicazioni bilineari, simmetriche, definite positive. Prodotti scalari. Prodotto scalare canonico nello spazio n-dimensionale e sulle matrici. Applicazioni bilineari e bilineari simmetriche nello spazio n-dimensionale. L27(39) - 05/12/02 Alcuni prodotti scalari nello spazio n-dimensionale. Norma, disuguglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare, distanza. Vettori unitari, ortogonali, ortonormali. Coordinate rispetto ad una base ortgonale e ortonormale. E13(40) - 06/12/02 Esercizi sugli spazi vettoriali complessi. E14(41) - 06/12/02 Risoluzione di sistemi di equazioni dipendenti da un parametro. Proprieta' delle funzioni lineari f tali che f(f(x))=f(x) per ogni x. L28(42) - 11/12/02 Ortormalizzazione. Proiezioni e proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Bessel. L29(43) - 11/12/02 Rette e piani ortogonali nello spazio tridimensionale. Prodotti scalari hermitiani. L30(44) - 12/12/02 Proiezioni ortogonali e coordinate sui complessi. Diagonalizzabilita' e autovalori. E15(45) - 13/12/02 Correzione di un compito di prova. E16(46) - 13/12/02 Esercizi sui prodotti scalari. L31(47) - 18/12/02 Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica. Diagonalizzabilita' in senso reale e complesso. Determinante e traccia. E17(48) - 18/12/02 Esercizi sugli spazi affini e sui prodotti scalari. L32(49) - 19/12/02 Teorema spettrale. Definitezza positiva delle forme. Hessiano. Forma canonica di normali, hermitiane, ortogonali. E18(50) - 20/12/02 Esercizi sul teorema spettrale. E19(51) - 20/12/02 Esercizi su autovalori e diagonalizzabilita'.