Matematica III - Risoluzione dello scritto del 28/09/01

Esercizio 1

A) sen(z^2)=0 se e solo se z = s*radice(k*pi) ove k e' un intero
positivo o nullo, s e' 1,-1,i oppure -i.

B) g(z)-f(z)=(sin(z^2)-sin^2(z))/(sin(z^2)*sin^2(z))
= (z^2-(1-1/6*z^3)^2+o(z^4))/(z^4+o(z^4))
= (z^2-z^2+1/3*z^4+o(z^4))/(z^4+o(z^4)) -> 1/3


C) Il residuo in 0 e' 0. Sia k>0. Il residuo in 2*k*pi e'
1/(2*radice(2*k*pi)), quello in -2*k*pi e' -1/(2*radice(2*k*pi)),
quello in 2*k*i*pi e' -i/(2*radice(2*k*pi)), e quello in -2*k*i*pi 
e' i/(2*radice(2*k*pi)).

D) Nel testo va omesso il 2 da radice(2*k*pi).
Se il disco Delta(t) contiene un polo z, allora contiene anche il
polo -z, e i contributi dei due poli si elidono per il punto C.



Esercizio 2

A) La derivata in t=0 e' positiva, quindi la funzione xk incontra
prima o poi il grafico della parabola x=-t2. Dopo averla incontrata, 
xk e' sempre decrescente, ma deve stare sopra questa parabola, 
quindi esiste sempre.

B) Ogni soluzione definita su tutto R incontra il ramo sinistro della
parabola x=t2 o della parabola x=-t2. Poiche' e' monotona, puo'
incontrarlo solo nell'origine. Si verifica che la soluzione x0 passante
per l'origine e' sempre decrescente, poiche' non interseca le parabole.

C) Si ha yk = 1/(1/k-t). Per k=1/2 abbiamo y = 1/(2-t), che interseca 
la parabola in t=1, t=(1+rad(5))/2, t=(1-rad(5))/2. Per k<1/2, la 
yk ha un asintoto piu' a destra che per k=1/2 e per t<2 il suo
grafico giace sotto quello della soluzione per k=1/2, dunque interseca 
la parabola in tre punti.

D) Come nel punto A) si dimostra che xk esiste per t<0.
Per t>0 la soluzione xk deve stare sotto la yk del punto C) fin dove 
quest'ultima esiste.  Poiche' k<1/2, per il punto C) la yk incontra 
la parabola {x=t2}, quindi anche xk la incontra. Superata la parabola, 
la soluzione xk e' sempre decrescente e limitata dal basso dal grafico di 
{x=-t2}, quindi esiste per ogni t>0. 

E) per k=1/2, la yk interseca la parabola {x=t2} in due punti, con
ascisse t=(1-rad(5))/2 e t=1. Si usa poi che xk sta sotto la yk per
t>0, ma sopra per t<0.


Esercizio 3

A) div(v)=0, quindi possiamo calcolare l'integrale sui due dischi
orizzontali D(-1) e D(1), ma poiche' la terza coordinata di v e' zero,
viene zero.

B) Con i moltiplicatori di Lagrange si ottengono dei punti su {z=0} 
che danno valori 1 e -1, ma i valori massimi e minimi si raggiungono 
chiaramente sul bordo, e sono 2 e -2.

C) Siano t0 < t1 arbitrari. Consideriamo la superficie data
dall'unione di D(t0), D(t1) e l'intersezione di S con
t0<=z<=t1.  Tale superficie e' il bordo di un aperto di R^3.
Poiche' il campo e' tangente alla parte contenuta in S, dal
teorema della divergenza segue che l'integrale su D(t0) di v*(0,0,-1)
+ l'integrale su D(t1) di v*(0,0,1) fa zero. Quindi g(t0)=g(t1).