Matematica III - Risoluzione dello scritto del 25/06/01

Esercizio 1

A) Possiamo supporre che i due punti abbiano coordinate (0,0) e (a,0).
Il bordo interseca la striscia infinita 0<=x<=a in almeno due archi,
ciascuno dei quali parte da un punto avente ascissa 0 e finisce in un punto
di ascissa a. Ciascuno di questi archi e' lungo almeno a,
quindi L>=2a=2|x-y|

B) Calcolo

C) Poiche' f ha residuo +1 o -1 ai propri poli, il valore assoluto
dell'integrale e' maggiorato da 2*pi*|n-m| ove n e m sono
i numeri dei poli contenuti nella regione bordata dalla curva
rispettivamente aventi residuo 1 e -1.  Chiaramente abbiamo 
2*pi*|n-m|<=2*pi*max{n,m}.  Supponiamo per comodita' che max{n,m}=n
(altrimenti e' uguale).  Poiche' i poli con residuo 1 
sono in fila a distanza 2pi l'uno dall'altro, vi sono due poli 
a distanza almeno (n-1)*2pi, percio' per il punto (A) abbiamo 
L>=2*(n-1)*2pi, da cui segue la disuguaglianza.

D) No, basta prendere una curva piccola che fa molti giri intorno ad un polo


Esercizio 2

A) L'esistenza per t<0 e' facile. Per t>0, si nota che x'>x^2-b
(con b =pi^2/4), e le soluzioni di x'=x^2-b scoppiano.

B) Abbiamo x'>x^2 - pi^2/4 > x^2/2. L'equazione y'=y^2/2 ha soluzione
y(t)=1/(1/k-t/2), che esiste solo per t<2/k.

C) I punti ove x'=0 formano 4 rami, e la soluzione puo' incontrare solo
due di questi, e ciascuno in al piu' un punto.

D) Sia k0>0 tale che per ogni |k|<k0 la soluzione interseca ciascuna
delle due zone (a sinistra e a destra) in cui x'<0.  L'esistenza di tale
k0 deriva dal fatto che x'=0 in (0,0), mentre le curve  
sulle quali x'=0 hanno tangenti non orizzontali in (0,0).
Dalle zone dove x'<0 la x non puo' uscire, e la condizione
x'<0 garantisce che lim- = pi/2 e lim+ = -pi/2


Esercizio 3

A) K(s,t) consiste di due coni retti di vertice (0,0,0) e altezze t e |s|,
uno sopra e l'altro sotto il piano orizzontale.  Il volume e' 
(t^3-s^3)*pi/3, l'area e' (1+rad(2))*(t^2+s^2).
Con i moltiplicatori di Lagrange si vede che il minimo e' raggiunto
con (t=0, s=-radice cubica di(3/pi)) o con (t=radice cubica di (3/pi),
s=0) ed il massimo e' raggiunto con t=-s=radice cubica di (3/(2*pi)).

B) Il campo ha divergenza nulla, percio' basta calcolare l'integrale
sul disco orizzontali di centro (0,0,t) e raggio t di
exp(x^2+y^2)+2t. Viene pi*(2*t3 + exp(t^2) - 1)

C) No, perche' per il teorema del Dini K(-1,1) sarebbe 
in un intorno di (0,0,0) il grafico di una funzione da R^2
in R, il che e' impossibile.