Matematica III - Soluzioni dello scritto del 16/2/02


ESERCIZIO 1:

A: fn(z) = (z-1) / (z^(n+1)-1) dunque le singolarit\`a di fn sono le radici
(n+1)-esime dell'unita', eccetto 1 che e' eliminabile.

B,C: zk^m=(z1^k)^m=(z1^m)^k=zm^k, onde la somma fa (zm^(n+1)-1)/(zm-1), ma
zm e' una radice (n+1)-esima dell'unita'.

D: fn(z)=1 / ( (z-z1)(z-z2)...(z-zn) ) e la prima espressione segue subito.
La seconda espressione segue dalla prima: con esponente -1 appaiono 
esattamente gli stessi termini di prima con l'aggiunta da zk-z0=zk-1, che si
semplifica.  La terza espressione segue dalla seconda raccogliendo zk in 
ciascuno dei termini con esponente -1 e ricordando che zk e' una radice 
(n+1)-esima dell'unita'.

E: Si integra 1/(z+1) su una circonferenza che allaccia -1, dunque viene 2pi*i.

F: La somma dei residui, grazie all'ultima espressione del punto (D), e' 
multipla della differenza tra la somma degli zk e la somma dei quadrati 
degli zk, che per il punto (C) fanno entrambe zero.




ESERCIZIO 2:

Si noti che la derivata si annulla sulle bisettrici dei quadranti,
e' negativa nei due settori che contengono l'asse t, positiva
nei due che contegono l'asse x.

A: La x0 non puo' intersecare le bisettrici dei quadranti, 
quindi esiste per tutti i t.

B: Posto y(t)=-xk(-t) si ha che y soddisfa il problema con dato iniziale -k.

C: La xk parte crescendo dunque entra nella regione di decrescenza tra le
bisettrici del primo e del quarto quadrante, dalla quale non puo' piu' 
uscire.  Decrescendo, ha limite. Se fosse finito, la derivata dovrebbe 
tendere a 0, il che e' assurdo.

D: segue da (B) e (C)

E: Per k diverso da zero segue da (C) e (D) che ha un max o un min locale,
dunque non e' iniettiva. Per k=0 la xk e' sempre decrescente, dato che lo e',
avendo derivata negativa, su (-infinito,0) e su (0,infinito).

F: Se h<0 segue da (C) e (A). Altrimenti xh sta tra x0 e xk per t positivo.

G: Se su [0,1] la x esiste, la sua derivata e' maggiore di x^2-1. Dunque x 
e' maggiore della soluzione del problema y'=y^2-1, y(0)=k.  Questa equazione 
si risolve e la soluzione scoppia. Scegliendo un valore di k abbastanza 
grande scoppia prima di 1, quindi lo fa anche x.