Matematica III - Soluzioni dello scritto del 12/1/02


ESERCIZIO 1:

A: Entrambi i bordi sono la circonferenza di raggio 1 e centro 0 nel piano xy

B: Il valore e' uguale al valore assoluto dell'integrale della forma
d(ydxdz)=dydxdz sulla zona racchiusa dalle due superfici, ovvero al volume di
tale zona, che siccome e' contenuta nella sfera di centro (0,0,1) e di raggio
radice(2) e' sicuramente minore del valore richiesto.

C: La forma e' chiusa, per cui si puo' integrare sul disco di raggio 1
centrato in 0 contenuto in xy. Viene zero.

D: Calcoliamo gli estremi con il solo vincolo x^2+y^2+(z-1)^2=2. Deve essere
1+2kx=2+2ky=2k(z-1)=0, dunque z=1 e y=2x.  Sostituendo si trovano gli estremi
+rad(10) e -rad(10).  Poiche' anche il vincolo z>0 e' soddisfatto, abbiamo gli
estremi cercati.



ESERCIZIO 2:

A: Gli zeri sono i multipli interi non nulli di pigreco ed i poli sono 0 e i.  
Sono tutti di ordine 1.

B: La forma integranda ha coefficiente olomorfo per ogni $0<|z|<1$ e per ogni
$|z|>1. Ne segue quindi che f(t) e' definita per ogni t diverso da 1, e che e'
costante su (0,1) e (1,infinito).

C: Basta calcolare i residui in 0 ed in i.  Poiche' sin(z) = z + O(z^3),
allora g(z) = 1/z * 1/(z-i) + h(z) con h olomorfa vicino a 0, quindi in 0 il
residuo e' 1/-i = i.  Invece in i e' banalmente -sin(i). Quindi
f(1/2)=2pi*i*i=-2pi mentre f(2)=2pi*i*(i-sen i).

D: Bisogna calcolare il residuo in zero, che si ottiene moltiplicando
per z^2, derivando una volta e valutando in 0. Fa 1, quindi 2 pi i in
tutto.

E: Lo sviluppo di Taylor di 1/z^2 intorno a i e' del tipo
1/z^2=-1-2i(z-i)+O((z-i)^2). Quello del seno e' sin(z) = sin(i) + (z-i)*cos(i)
+ O((z-i)^2).  Quindi g(z)=-sin(i)/(z-i)-(2i*sin(i)+cos(i))+O(z-i).


ESERCIZIO 3:

A: Le costanti x(t)=k*pi sono soluzioni per ogni k intero. Quindi ogni altra
soluzione e'limitata sopra e sotto da due soluzioni, per cui esiste sempre.

B: Le soluzioni esistono sempre, sono limitate e monotone, quindi hanno
limite.

C: Se una xk tende a qualcosa di diverso da k*pi, allora la derivata di xk non
puo' tendere a zero, che e' assurdo.

D: Ad esempio va bene f(y)=(y-a1)...(y-an), con ki=ai.

E: Serve una leggera modifica della soluzione precedente, perche' usando la f
di sopra si ha che yk non esiste sempre per k molto grande, e nel caso di n
dispari neppure per k molto negativo.  Basta scegliere:
f(y) = - (y-a1)...(y-an)                per n dispari
f(y) = - (y-a1)^2 (y-a2) ... (y-an)     per n pari