Matematica III - Soluzioni del quiz del 12/01/02

1V)	L'andamento dei segni di t^(1-t^2) e' come quello di sin(pi*t)

2F) 	Ad esempio f(x,y)=(exp(x),y)

3F)	Se x(0)=0 si', altrimenti -1/x=t^3/3+c, quindi scoppiano tutte

4F)	Ad esempio f(z)=(z-z0)^(-2)+(z-z0)^(-1) ha residuo 1

5V)     Si effettua il cambio di variabile s=-t nell'integrale che definisce F

6A)	Bisogna integrare per t tra 1 e 2 la funzione t^3

7B)	ds/du=(1,v,2u), ds/dv=(0,u,0). L'elemento d'area e' la norma di 
	(2u^2,0,u), dunque e' u*rad(1+4u^2), che ha primitiva
	1/12*(1+4u^2)^(3/2).

8C)     La forma e' il differenziale della funzione x^2 * z * exp(y), che
	dunque va valutata tra i due estremi (1,0,0) e (-1,0,1)

9B)	Dalla teoria (riduzione dell'ordine)

10C)	t^3+2t^2-4(t+2) = (t^2-4)(t+2) ha soluzione -2 doppia e +2 semplice.
	La soluzione e' (an+b)(-2)^n+c2^n, con b+c=2, a+b-c=0, 2a+b+c=2 
	dunque a=0, b=c=1.  Il limite di 1+(-1)^n non esiste.

11D)	Si tratta delle immagini tramite f dei due segmenti degli assi che 
	stanno nel disco.  Si incontrano in un solo punto perche' f e'
	iniettiva, e sono ortogonali perche' f conserva gli angoli.

12B)	La funzione e' olomorfa su C-{0,i}.  La distanza di 1 dal 
	complementare dell'insieme di olomorfia e' 1.

13C)	La funzione ha il solo polo semplice -i con residuo 1/(-2i)^3 nel 
	semipiano inferiore, e decresce come 1/|z|^4.  Dunque
	l'integrale e' -2pi*i*(1/(-2i)^3)

14B)	Nel disco di centro i e raggio 1 la sola radice quarta dell'unita' 
	e' i.  Ora z^4-1 = (z-i) * (z+i)(z^2-1) dunque il residuo e'
	1/-4i

15D)	f(t)=exp(it) contraddice A, B, C