Matematica III - Risoluzione dello scritto del 9/9/02 Esercizio 1 A) p ha almeno uno zero. B) f ha al piu' d poli. Supponiamo che in k di essi la f abbia residuo non nullo, e sia ai uguale 2*pi*i volte tale residuo. Se D e' la regione racchiusa dalla curva, l'integrale di f e' uguale alla somma degli ai corrispondenti ai poli contenuti, con un segno meno se la curva e' orientata in senso orario. C) Segue da B D) Con p(z) = z, l'integrale su una curva che gira n volte intorno all'origine e' 2*pi*i*n, quindi si ottengono infiniti valori distinti. E) No se esistono infiniti poli con residuo non nullo, ad esempio per f(z)=1/sin z. Esercizio 2 A) x' < 0 per x > 1 e x' > 0 per x < -1. B) x'>-1-x e x'<1-x, e sappiamo che le soluzioni di y'=a-y esistono su tutto R, per ogni a. C) Consideriamo ad esempio il caso k>0: se esiste un t0 per cui x(t) non tocca il grafico di {x=(sin t)/(1+t2)} per tutti i t>t0, allora x e' monotona decrescente e limitata dal basso, percio' ha limite. Tale limite L deve essere zero (segue dall'equazione x' = (sin t)/(1+t2)-x, che al limite per t tendente a infinito diviene 0 = 0 - L). Altrimenti, x interseca definitivamente il grafico ed e' facile vedere che tende a zero anche in questo caso. D) Se esiste t0 tale che la soluzione non interseca il grafico di {x=(sin t)/(1+t2)} per ogni t