Matematica III - Soluzioni dello scritto del 2/2/02


ESERCIZIO 1:

A: C'e' la soluzione costante x=0. Se k>0 la x cresce sempre, dunque esiste
fino a -infinito. Al limite la derivata deve tendere a 0, dunque x stessa 
tende a 0.  Analogamente per k<0.

B: Posto y(t)=-xk(t) si vede che y risolve.

C: Basta riferirsi al caso k>0 e notare che x'<x per t>0. L'equazione
y'=y ha soluzione definita fino a +infinito, e la tesi segue per confronto.


ESERCIZIO 2:

A: Se f(z)(z-z0)^k e' olomorfa anche 
f(z)(z-z0)^h = f(z)(z-z0)^k * (z-z0)^(h-k) lo e'.

B: A meno di scambiarli, supponiamo k<h e poniamo f(z)=(z-z0)^(-h). Allora
f sta in Vh ma non in Vk.

C: Che sia un sottospazio segue subito dal fatto che l'insieme 
delle olomorfe e' uno spazio vettoriale.  
Prendendo f(z)=g(z)=(z-z0)^(-k) si vede che f*g non sta in Vk se k>0.

D: Fissato j la forma integranda ha coefficiente olomorfo su Omega-{z0}, onde
l'indipendenza da epsilon.  Linearita' ovvia a j fissato, onde per la k-upla.

E: Vk e' lo spazio delle funzioni con polo di ordine al piu' k in z0.
La j-esima componente di psi(f) e' (a meno del fattore 2pi*i) il 
coefficiente di ordine -j nello sviluppo di Laurent di f.


ESERCIZIO 3:

A: La 2-forma integranda e' il differenziale della 1-forma x*e^z*dy, la quale
va dunque integrata sulle circonferenze orizzontali di centro 0 e raggio 1
ad altezze z=1 e z=-1, con segni opposti. Viene 2*pi*sinh(1).

B: dw = 2 dx dy che non e' nullo.  Tuttavia l'elemento d'area su Sigma ha
sempre componente nulla lungo dx dy (perche' Sigma e' unione di segmenti 
verticali).

C: La prima affermazione e' ovvia, e l'integrale viene 2*pi.

D: Certamente massimo e minimo si hanno per |z|=1. Si vede allora 
facilmente che sono 1/2 e -1/2.

E: La forma e' chiusa, quindi l'integrale cercato e' la differenza tra quello
sul disco orizzontale di centro 0 e raggio 1 ad altezza z=1 e quello sul disco
ad altezza z=-1.  La forma integranda e' in entrambi i casi 
e^(x+y^2+z^2) dx dy, dunque viene 0.