Matematica III - Risoluzione dello scritto del 01/06/01


Esercizio 1

A) Sono exp((2n+1)*pi*i/4) con n=0,1,2,3, ovvero (+-1 +-i)/rad(2)

Chiamiamo Res0, Res1, Res2, Res3 i residui nei quattro punti.

B) Viene 2i*pi*(Res0 + Res1) ove Res0 = -rad(2)*(1+i)/8
e Res1 = rad(2)*(i-1)/8, percio' viene rad(2)*pi/2

C) Abbiamo Res0 = -Res3 e Res1 = -Res2.
Per 0<k<rad(2) viene 2i*pi*(Res0 + Res3) = -i*pi*rad(2)/2, 
per -rad(2)<k<0 viene 2i*pi*(Res1 + Res2) = i*pi*rad(2)/2.
Per gli altri k viene zero o non definito.

D) Per rad(2)/2-1<k<1-rad(2)/2, 
abbiamo k=2i*pi*(Res0+Res1-Res2-Res3) = rad(2)*pi.
Per 1-rad(2)/2<k<rad(2)/2+1, 
abbiamo k=2i*pi*(Res0-Res3) = rad(2)*pi*(1-i)/2.
Per -1-rad(2)/2<k<rad(2)/2-1,
abbiamo k=2i*pi*(Res1-Res2) = rad(2)*pi*(1+i)/2.
Per gli altri non e' k definito.


Esercizio 2

A) I punti ove x'=0 formano due rami, ciascuno dei quali puo' essere
intersecato al piu' una volta.

B) La soluzione e' limitata dal ramo sinistro

C,D,E) Seguono facilmente dal fatto che |x'|<1 ovunque



Esercizio 3

A) Deve essere u(x,y) = y/(x^2+y^2) + V(y) ove V dipende solo da y.

B) Con una u come nel punto A, si verifica che l'integrale della forma
lungo la circonferenza di raggio 1 e' uguale a quello di V(y)dy,
ed questa forma e' chiaramente esatta.

C) Le primitive sono del tipo F(x,y) = log(x^2+y^2)/2 + W(y), ove W e'
una primitiva di V.