Geometria e Algebra - Scritto del 25/6/02 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) Il determinante di A e' 2*3*2=12 che e' diverso da 0, quindi 
il rango di A e' 3.

(B) Il polinomio caratteristico di A e' (t-3)(t-2)^2, quindi gli 
autovalori sono due: 3 (con molteplicita' algebrica 1) e 2 (con 
molteplicita' algebrica 2).  Bisogna dimostrare soltanto che la 
molteplicita' geometrica dell'autovalore 2 e' 2, quindi studiamo 
la matrice
2*I-A=(0 -1 1):
       0 -1 1
       0  0 0
il rango di 2*I-A e' 1, quindi la molteplicita' geometrica di 2 e' 3-1=2.

(C) Risolvendo il sistema 2x_1+x_2-x_3=2x_1, 3x_2-x_3=2x_2, 2x_3=2x_3, si 
ottengono due autovalori relativi all'autovalore 2: (1,0,0) e (0,1,1).
Risolvendo il sistema 2x_1+x_2-x_3=3x_1, 3x_2-x_3=3x_2, 2x_3=3x_3, si 
ottiene un autovalore relativo all'autovalore 3: (1,1,0).
Quindi B=((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0)).

(D) La matrice di cambio di base e'
(1 0 1).
 0 1 1
 0 1 0

(E) La matrice cercata e'
(2 1 -1)(1 0 1)=(2 0 3).
 0 3 -1  0 1 1   0 2 3
 0 0 2   0 1 0   0 2 0

Esercizio 2

(A) Ker(f)={a+b*x+c*x^2+d*x^3|a+b+c+d=0}={a+b*x+c*x^2+(-a-b-c)*x^3} 
che ha dimensione 3.
Ker(g)={a+b*x+c*x^2+d*x^3|a-b+c-d=0}={a+b*x+c*x^2+(a-b+c)*x^3} 
che ha dimensione 3.

(B) Ker(f)=Span(1-x^3,x-x^3,x^2-x^3).
Ker(g)=Span(1+x^3,x-x^3,x^2+x^3).

(C) Il rango di F e' al massimo 2.
F(1)=(1,1) e F(x)=(1,-1) sono indipendenti, quindi F ha rango 2.

(D) Ker(F)=Span(a+bx-ax^2-bx^3).

(E) La matrice cercata e'
(1  1 1  1).
 1 -1 1 -1

Esercizio 3

(A) Applicando Gram-Schmidt alla base B, si ottiene
v1=(1,0,0,0), v2=(0,i,0,0), v3=(0,0,1,0), v4=(0,0,0,1).

(B) Ad esempio, v=(i,0,0,0) e w=(1,0,0,0).

(C) Ad esempio, v'=(i,0,0,0) e w'=(0,1,0,0).

(D) Si estenda (v',w') a una base di C^4, diciamo B'=(v',w',x,y).
Si definisca la funzione cercata sulla base B': ad esempio,
f(v')=f(w')=0, f(x)=x, f(y)=y.
La matrice associata a f nella base B' e'
(0 0 0 0),
 0 0 0 0
 0 0 1 0
 0 0 0 1
che e' diversa da 0, appartiene a V ed e' gia' diagonale.

(E) Sia f una funzione generica di V.
La matrice associata a f nella base B' e'
(0 0 b1 c1),
 a a b2 c2
 0 0 b3 c3
 0 0 b4 c4
dove a, bi, ci sono numeri complessi che possono assumere qualsiasi 
valore, quindi la dimensione e' 9.

(F) Ovviamente sia v che w sono diversi da 0.
Per assurdo, se v=k*w con k numero reale, si avrebbe
1=-tv*v=-t(k*w)*(k*w)=-k^2*(tw*w)=-k^2*1,
quindi k^2+1=0: cio e' assurdo, infatti k e' reale.