Geometria e Algebra - Scritto del 16/2/02 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) k appartiene a Xk, allora Xk=k+{p(x)|p(0)=0}. Quindi gli Xk sono
paralleli.

(B) I polinomi che soddisfano la condizione p(0)=k sono del tipo
p(x)=k+ax+bx^2+cx^3, con a,b,c generici.

(C) Usando la base canonica di R<=3[x] per identificarlo a R^4 
viene 4 volte il prodotto canonico di R^4.

(D) E0={ax+bx^2+cx^3: a,b,c in R}, Y={k: k in R}. 
Ovviamente <ax+bx^2+cx^3|k>=0.

(E) Ad esempio, ortonormalizzando la base canonica,
B=((1/2)x,(1/2)x^2,(1/2)x^3,1/2).



Esercizio 2

(A) (-1,-2,-3).

(B) (1,2,4).

(C) (x1+2x2+4x3,2(x1+2x2+4x3),3(x1+2x2+4x3))

(D) (y1+2y2+3y3,2(y1+2y2+3y3),4(y1+2y2+3y3))

(E) {x:fx=0} = {x:x1+2x2+4x3=0} = Span((-2,1,0),(-4,0,1)),
{y:fy=0} = {y:y1+2y2+3y3=0} = Span((-2,1,0),(-3,0,1)).

(F) L'intersezione tra questi spazi e'
{z:z1+2z2=0,z3=0} = Span(-2,1,0).



Esercizio 3

(A) Innanzitutto, 2+k deve essere uguale al coniugato di 2+k e 1+ik deve
essere uguale al coniugato di 1+ik. Da cui k=0.
La matrice quindi diventa  

2 2 0
2 3 1
0 1 3

I suoi determinanti delle sottomatrici in alto a sinistra sono positivi.


(B) Ortonormalizzando la base canonica (e1,e2,e3), si ha:
v1=(1/sqrt(2))e1, v2=e2-e1, v3=(1/sqrt(2))(e1-e2+e3).

(C) Le condizioni su v=(v1,v2,v3) sono v2+v3=0 e v1+2v2+2v2=0; da cui, ad
esempio, v=(0,1,-1).

(D) v e w sono linearmente indipendenti.

(E) L'applicazione nulla non appartiene a X.

(F) Sia z indipendente da v e w, quindi B=(v,w,z) e' una base di C^3. X e'
l'insieme delle f la cui matrice associata, nella base B, e'
 0 b c
 a 0 d
 0 0 k
con a, b diversi da 0 e c, d, k generici.
Lo spazio vettoriale generato e' quello delle f la cui matrice associata,
nella base scelta sopra, e'
 0 b c
 a 0 d
 0 0 f
con a, b, c, d, k generici. Questo spazio vettoriale ha dimensione 5.