Geometria e Algebra - Scritto del 13/07/02 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) La matrice S_0 e'
(1 0 0),
 0 0 0
 0 0 2
quindi il vettore cercato e', ad esempio, (0,1,0).

(B) Il prodotto righe per colonne e' lineare, quindi f_k e' bilineare 
per ogni k.  E' anche simmetrica quando k^2=k, ossia k=0,1.

(C) Per il punto (A), f_0 non e' definita positiva.
Al contrario, f_1 e' definita positiva, infatti:
det(1)=1>0, det(1 0)=1>0, det(1 0 1)=1>0.
                0 1           0 1 0
                              1 0 2

(D) Applicando Gram-Schmidt alla base canonica, si ottiene B=(v1,v2,v3), 
dove v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(-1,0,1).

(E) E' sufficiente cambiare l'ordine: ad esempio, B'=(v2,v1,v3).
La matrice di cambio di base e'
(0 1 0).
 1 0 0
 0 0 1

Esercizio 2

(A) L'equazione z_2-z_3=0 si puo' ottenere sottraendo la seconda 
equazione dalla prima (z_1+z_3=0 da z_1+z_2=0); queste due sono 
ovviamente indipendenti, quindi la dimensione di X e' 3-2=1. Per 
quanto riguarda Y, i due vettori sono ovviamente indipendenti, quindi 
la dimensione di Y e' 2.

(B) X=Span(1,-1,-1), Y={z_1-z_2-z_3=0}.

(C) E' sufficiente verificare che 
<(1,-1,-1)|(i,i,0)>=0, <(1,-1,-1)|(0,i,-i)>=0.

(D) Per il punto (C), l'intersezione tra X e Y e' {0}; applicando la 
formula di Grassman, si ottiene che la dimensione di X+Y e' 1+2-0=3, 
quindi X+Y=C^3.

(E) Z=(1,0,0)+Span(-1,-2,1).
Inoltre, (-1,-2,1)=i*(i,i,0)+i*(0,i,-i) appartiene a Y, quindi 
Z e' parallelo a Y.

Esercizio 3

(A) det(A)=0, ma det(-1 1 -1)=-2, quindi il rango di A e' 3.
                      0 1 -1
                      0 0  2
Ker(f_A)=Span(1,1,0,0).

(B) Il polinomio caratteristico di A e' (t-1)(t-2)t^2, quindi gli 
autovalori sono tre: 1 e 2 (con molteplicita' algebrica 1) e 0 
(con molteplicita' algebrica 2).  Studiamo la molteplicita' geometrica 
dell'autovalore 0, quindi studiamo il Ker della matrice (0*I-A)=-A: 
per il punto (A), la molteplicita' geometrica di 0, che e' la 
dimensione di Ker(A), e' 1.

(C) Ci sono tre autovalori distinti, quindi ci sono almeno tre 
autovalori linearmente indipendenti.  Quindi il numero cercato e' 3: 
infatti non puo' essere 4, altrimenti A sarebbe diagonalizzabile.

(D) Im(f_A)=Span((1,0,0,0),(1,1,0,0),(-1,-1,2,2))={x_3=x_4}.

(E) ((1,0,0,0),(1,1,0,0),(-1,-1,2,2),(0,0,0,1)) e' una base di R^4.
La funzione g tale che 
g(1,0,0,0)=(1,0,0), g(1,1,0,0)=(0,1,0), g(-1,-1,2,2)=(0,0,1) 
e g(0,0,0,1)=(0,0,0) e' la funzione cercata, infatti 
g*f_A(1,0,0,0)=(1,0,0), g*f_A(0,0,1,0)=(0,1,0), g*f_A(0,0,0,1)=(0,0,1).