Geometria e Algebra - Scritto del 9/9/02 - Risoluzione

Esercizio 1.

A)	X consiste dei polinomi dispari di grado al piu' 7, dunque ha base
	(t,t^3,t^5,t^7) e dimensione 4.

B)	Y e' definito da equazioni lineari, dunque e' un sottospazio.
	Un elemento a di Y e' univocamente determinato dai sui valori per
	n=0,1,2,3,4, che possono essere scelti arbitariamente.  Dunque la
	dimensione e' 5 ed una base e' data da
		a=(1,0,0,0,0,...)
		b=(0,1,0,0,0,...)
		c=(0,0,1,0,0,...)
		d=(0,0,0,1,0,...)
		e=(0,0,0,0,1,...)
	dove i puntini indicano che si continua con la regola della 
	definizione.

C)	Chiaramente non e' surgettiva, dunque non e' iniettiva (anzi il nucleo
	ha dimensione infinita).

D)	La matrice e'

	3	-2	0	4	2
	0	0	1	0	-2
	0	1	0	0	0
	0	0	0	-1	-1

E)	E' 4, le prime 4 colonne sono lin. indip.

F)	La sua matrice e'

	3	-2	0	2	
	0	0	1	-2	
	0	1	0	0	
	0	0	0	-1	

	ed ha autovalori 3,1,-1,-1.  Sommando l'identita' viene

	4	2	0	2
	0	1	1	-2	
	0	1	1	0
	0	0	0	0

	il cui rango e' 2. Dunque -1 ha molt. alg. 2, e 
	l'applicazione e' diagonalizzabile.

G)	La sua matrice e'

	3	-2	0	4	2
	0	0	1	0	-2
	0	1	0	0	0
	0	0	0	-1	-1
	0	0	0	0	0

	Gli autovalori sono 0,1,3,-1,-1.  Sommando l'identita' viene 
	
	4	2	0	4	2
	0	1	1	0	-2
	0	1	1	0	0
	0	0	0	0	-1
	0	0	0	0	1

	e di nuovo e' diagonalizzabile.



Esercizio 2.

A)	Una base di P e' data da (i,1,0,0),(0,0,1,0),(1+i,0,0,-1).

B)	Una base dell'ortogonale e' (1,i,0,1-i). Equazioni sono
	z1+iz2=z3=-z1+z2+z4=0.

C)	La distanza di v da P e' la lunghezza della proiezione v' di v 
	sull'ortogonale di P, e la proiezione e' v-v'. Normalizzando la 
	base dell'ortogonale si trova che v'=(-i,1,0,-1-i)/4, quindi
	la distanza e' 1/2, e per la proiezione si fanno i conti.

D)	Equazioni sono z1-z2+iz3=-1+i,z2+(1-i)z3-iz4=-i. 
	Inoltre Q=v+Span( (1,1,0,-i) , (-i,0,1,-1-i) )

E)	Facendo il sistema si trova che l'intersezione ha dimensione 1, 
	dunque la somma ha dimensione 3+2-1=4, ovvero e' tutto C^4.

F)	Cominciamo ad esaminare quali vettori unitari R contenga.  
	Tali vettori esistono se la distanza di R dall'origine e' al piu'
	1.  Possiamo calcolare tale distanza traslando di vettore -v,
	dunque calcolando la distanza di -v (oppure di v, che e' lo
	stesso) dal sottospazio generato da (i,1,0,0) e (0,0,0,i).
	Facendo i conti si vede che tale distanza e' maggiore di 1.  
	Poiche' R non contiene vettori unitari, la base dovrebbe essere 
	contenuta in P, il che e' impossibile.