Geometria e Algebra - Scritto del 08/01/02 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) Il prodotto righe per colonne e' lineare quindi fs e' bilineare. La
condizione di simmetria e' s^2-4=0, ossia s=2 oppure s=-2.

(B) Calcoliamo il determinanti delle matrici in alto a sinistra.
Il primo e' positivo. Il secondo lo e' solo per s=2.  Gli altri sono
poi positivi.  Quindi fs e' un prodotto scalare solo per s=2.

(C) Applicando Gram-Schmidt alla base canonica (e1,e2,e3,e4) si ottiene:
v1=e1/rad(3), v2=e2, v3=(e3+(1/3)e1)/rad(8/3), v4=e4.

(D) (v2,v4,v1,v3)

(E) Il polinomio caratteristico e' (t-2)(t-4)(t-1)^2, quindi gli autovalori
sono 2 e 4 (con molteplicita' algebrica 1) e 1 (con molteplicita' algebrica
2).

(F) Sia B una base ortonormale per il prodotto scalare standard che
diagonalizza <|>'. In questa base la matrice associata a <|>' e' 
diagonale con 4,2,1,1 sulla diagonale.
Un vettore che e' unitario per entrambi i prodotti scalari soddisfa il sistema:
 x1^2 +  x2^2 + x3^2 + x4^2=1
4x1^2 + 2x2^2 + x3^2 + x4^2=1
dove (x1,x2,x3,x4) sono le coordinate rispetto a B.
Sottraendo la prima dalla seconda si ottiene 3x1^2 + x2^2=0, ossia x1=x2=0;
quindi al massimo se ne possono trovare 2 indipendenti. Il punto (E) dimostra
che il massimo (2) e' assunto.




Esercizio 2

(A) rank(A)=2, infatti le prime due colonne sono indipendenti e le ultime due
sono uguali.

(B) Il polinomio caratteristico e' t(t-2)^2. Quindi l'autovalore 2 ha
molteplicita' algebrica 2. Ma dim(Ker(2I-A))=1, quindi l'autovalore 2 ha
molteplicita' geometrica 1. Quindi A non e' diagonalizzabile.

(C) Ker(A)=Span((0,1,-1))={x:x1=x2+x3=0}.

(D) Im(A)=Span((2,sqrt(2),sqrt(2)),(0,1,1))=Span((1,0,0),(0,1,1))={z2=z3}.

(E) <(0,1,-1)|(1,0,0)>=0, <(0,1,-1)|(0,1,1)>=0; inoltre
dim(Ker(A))+dim(Im(A))=3; quindi la tesi.

(F) A^n e1 = 2^n e1.







Esercizio 3

(A) La terza equazione e' la prima piu' i volte la seconda.
Le prime due sono indipendenti.  Quindi la dimensione e' 4-2=2.

(B) {z:z1=iz2,z2=iz3} = Span((-1,i,1,0),(0,0,0,1)).

(C) Per la formula di Grassman, dim(Y)=4-2=2.

(D) (-1,i,0,0) e (0,1,i,0) sono indipendenti e ortogonali a X. La dimensione
dell'ortogonale a X e' 4-2=2, quindi lo spazio cercato e' da loro generato.

(E) Ad esempio r = {t(1,0,1,0)} = {z:z3=z1,z2=z4=0}.

(F) Span((-1,i,1,0),(0,0,0,1),(1,i,0,0)) = {z:z1+iz2=2iz3=0}.