Geometria e Algebra - Scritto del 2/2/02 - Risoluzione


Esercizio 1

(A) r=Span((2,1,0)), s=Span((0,0,1)), dunque r+s = Span((2,1,0),(0,0,1)).

(B) L'ortogonale di r e' {x:2x1+x2=0}.  L'ortogonale di s e' {x:x3=0}.

(C) L'intersezione tra l'ortogonale di r e l'ortogonale di s e'
{2x1+x2=0,x3=0}=Span((1,-2,0)). L'ortogonale di tale retta e'
{x1-2x2=0}, che e' proprio r+s scritto in coordinate cartesiane.

(D) I generatori di r, di s e dell'ortogonale di r+s sono, rispettivamente,
(2,1,0), (0,0,1) e (1,-2,0). Questi sono indipendenti, quindi formano una
base. La f la cui matrice associata, in questa base, e'
 0 0 1
 1 0 0
 0 1 0
ad esempio, funziona.

(E) X e' l'insieme delle f la cui matrice associata, nella base scelta sopra, 
ha la forma
 0 0 c
 a 0 0
 0 b 0
con a, b, c tutti diversi da 0.
Lo spazio vettoriale generato e' quello delle f la cui matrice associata,
nella base scelta sopra, e'
 0 0 c
 a 0 0
 0 b 0
con a, b, c generici.  Questo spazio vettoriale ha dimensione 3.



Esercizio 2

(A) Le prime tre condizioni definiscono univocamente A come segue

    2   0 0
    0   0 0
   2-i -i i

perche' ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,i)) e' una base di C^3.

La matrice A e' ben definita perche' soddisfa anche l'ultima condizione.

(B) Il polinomio caratteristico di A e' (t-2)(t-i)t, quindi i tre autovalori
sono 2, i, 0 (distinti) e A e' diagonalizzabile.

(C) Ker(2I - A)=Span((1,0,1)), 
Ker(iI - A)=Span((0,0,1)), 
Ker(0I -A)=Span((0,1,1)). 
Dunque una base che va bene e' C=((1,0,1),(0,0,1),(0,1,1)).

(D) Ad esempio, sfruttando il punto precedente, W=Span((0,0,1),(1,0,1))

(E) Sia f l'applicazione rappresentata da A.
Detti v1, v2, v3 i tre vettori della base C trovata al punto (C) si
ha: f(v1)=2v1, f(v2)=iv2, f(v1)=0. Ad esempio, sia g tale che
g(v1)=(1/2)v1, g(v2)=-iv2, g(v3)=0 e sia B la matrice associata a g
nella base canonica. Ovviamente si ha che g(f(v1))=v1 e g(f(v2))=v2,
quindi BAw=w per ogni w che appartiene a Span(v1,v2)=W.

Esercizio 3

(A) f(1)=1+x^2+x^3 e f(x^k)=1 per ogni k=1,2,3, quindi la matrice e'
 1 1 1 1
 0 0 0 0
 1 0 0 0
 1 0 0 0

(B) Le ultime 3 colonne sono uguali, quindi rank(f)<=2. La prima e la seconda
colonna sono indipendenti, quindi rank(f)=2.

(C) Im(f)=Span(1+x^2+x^3,1)=Span(1,x^2+x^3). Ker(f)=Span(x^2-x,x^3-x).

(D) Per l'intersezione: imponendo che un polinomio appartenga a entrambi i
sottospazi, si ha a1(1)+a2(x^2+x^3)=a3(x^2-x)+a4(x^3-x), la cui soluzione e'
ai=0 per i=1,2,3,4; da cui la tesi. Per la somma: e' sufficiente notare che
dim(ker(f))=dim(Im(f))=2.

(E) Sia B la base (1,x^2+x^3,x^2-x,x^3-x). Definiamo g sulla base B: ad
esempio, g(1)=x^2-x, g(x^2+x^3)=x^3-x, g(x^2-x)=g(x^3-x)=0.

(F) f g f (R^3) = f(g(Im(f))) = f(Ker(f)) =0
    f g (R^3) = f(g(Ker(f)+Im(f))) = f(g(Ker(f)))+0 = f(g(Ker(f)))