ESERCIZIO 1.

A) Siano 1<r_0<r_1<2. L'integrale di f(z)dz sul bordo dell'anello limitato
dalle circonferenze di centro 0 e raggi r_0 e r_1 e' uguale a zero perche'
f e' olomorfa sulla chiusura dell'anello, e quindi fdz e' chiusa. Le
orientazioni indotte dall'anello sulle due circonferenze sono tra loro
opposte, quindi i due integrali coincidono.

B) Come in (A), questa volta pero' la funzione olomorfa in questione e'
f/z^(n+1), olomorfa appunto in A.

C) Si fissino 1<r_0<r'_0<r'_1<r_1<2. Per la formula dei residui, dato z
tale che r'_0<|z|<r'_1, si ha

f(z)=1/(2*i*pigreco) (integrale su circonferenza di raggio r_1 di f(t)/(t-z) dt) 
- (1/(2*i*pigreco) (integrale su circonferenza di raggio r_0 di f(t)/(t-z) dt),

dove le due circonferenze sono orientate come bordo dell'anello {z:
r_0<|z|<r_1}.  Nel primo integrale si puo' sostituire 1/(t-z) con somma su
n>=0 di z^n/t^(n+1) (tale serie converge uniformemente nel dominio di
appartenenza di z perche' |z|<r'_1<r_1=|t|). Nel secondo integrale si
scriva 1/(t-z)  come -1/z (1/(1-(t/z)) che si puo' scrivere come - somma
su n<0 di z^n/t^(n+1), tale serie converge uniformemente nel dominio di
appartenenza di z perche' |t|=r_0<r'_0<|z|.  Dato che tali serie
convergono assolutamente per r'_0<|z|<r'_1, si puo' integrare termine a
termine e la f(z) si puo'scrivere come richiesto. La serie data converge
uniformemente sugli insiemi contenuti in anelli del tipo 
{z: r'_0<|z|<r'_1} con 1<r'_0<r'_1<2, e puntualmente su tutto A. 

D) f(z)=-1/z *(1/(1-1/z^2))= -1/z * (somma su n>=0 (1/z^2)^n). La serie
converge per |z|>1. Gli a_n sono quindi zero per n nullo o positivo, -1
per n negativo dispari e zero per n negativo pari. 

E) No: si consideri ad esempio f(z)=1/z; tale funzione soddisfa la
diseguaglianza in A ma e' olomorfa solo in C-{0}. 



ESERCIZIO 2

A) Localmente intorno a zero tale soluzione esiste per il teorema di
esistenza ed unicita' (la funzione 2x-x^2 e' derivabile).  La soluzione x
e' per il teorema almeno derivabile. Essendo x' = 3x-x^2 anche la x' e'
derivabile, e x'' = 3x' - 2 x x'. Dunque x'' e' derivabile, e si procede
concludendo che x e' infinitamente derivabile.

B) Se k = 0 o k = 2 la soluzione e' costante. Se 0<k<2, allora x'(t)>0 per
ogni t quindi la soluzione x_k e' sempre crescente e contenuta fra 0 e 2. 
Quindi il limite cercato esiste. Il suo valore L deve essere uno zero
della funzione 2x-x^2 (si tratta di un asintoto orizzontale della
soluzione dell'equazione). Quindi necessariamente L=0. Se k<0, allora
x_k(t) e' decrescente e quindi e' definita su tutto (-infinito,0].
Inoltre, per lo stesso motivo di cui sopra, il limite esiste e fa 0. 

C) Chiaramente x_k e' limitata se 0<=k<=2. Verifichiamo che altrimenti x_k
non e' limitata. Consideriamo ad esempio il caso k<0. Se x_k fosse
limitata allora, essendo decrescente, sarebbe definita su tutto R ed
avrebbe un asintoto orizzontale ad altezza L.  Cio' e' possibile solo se
L=0 o L=2 (vedi sopra) ma x_k(0) < 0 e x_k decresce. Assurdo. 
Analogamente per k>2.

D) Ovviamente x_k e' definita su tutto R per 0<=k<=2. Per k<0 si ha 
x'(t) < = -x^2 (dato che 2x e' negativo). Quindi x_k(t)  per t>0 e'
sempre minore della soluzione del problema di Cauchy: 
	y'=-y^2
	y(0)=k.
Tale soluzione e' y(t)=1/(t+1/k) che e' definita solo per t<-1/k. Quindi 
x(t) non e' definita su tutto R.

Sia invece k>2. Cerchiamo M tale che valga la disuguaglianza 
-x^2/M > = 2x-x^2 per t < 0. Ora x(t) > k per t < 0 (dato che x e' 
decrescente), dunque basta scegliere M > 0 che la verifichi per
tutti gli x > = k. Ad esempio M = k/(k-2). Scelto tale M, la soluzione del
problema di Cauchy:
	y'=-y^2/M
	y(0)=k
e' y(t)=1/(t/M +1/k). Tale funzione per t<0 e' minore di x_k(t) ed e'
definita solo per t>-M/k dove ha un asintoto verticale, quindi x_k non e'
definita su tutto R.
 


ESERCIZIO 3

A) In Delta non esiste alcuna tale forma perche' esso e' semplicemente
connesso. In Delta^* basta scegliere (1/z) dz. La funzione 1/z e' olomorfa
dunque la forma e' chiusa, ma non e' esatta perche' l'integrale sulla
circonferenza di raggio 1/2 non fa 0.

B) Supponiamo che esista una bigezione olomorfa h da Delta^* in Delta.
Data una forma f(z) dz su Delta, ponendo z = h(w) otteniamo la forma
f(h(w)) h'(w) dw su Delta^*. Analogamente da una forma su Delta^* se ne
ottiene una su Delta usando l'inversa di h. Resta definita una
corrispondenza tra le forme del tipo f(z) dz su Delta^* e quelle su Delta.
Tale corrispondenza mantiene chiusura ed esattezza, e si conclude che h
non puo' esistere per il punto precedente.

Procedimento alternativo. La h si estende olomorficamente in 0 per il
teorema di estensione di Riemann a una funzione che indichiamo con H, e
|H(0)| <= 1. Se |H(0)| = 1 allora H e' costante per il principio del
massimo. Assurdo. Se |H(0)| < 1 si ha H(0) = h(x) per qualche x diverso da
0. Usiamo ora informalmente la continuita' di H in 0 e dell'inversa di h
in h(x).  Se t e' molto vicino a 0 allora H(t) = h(t) e' molto vicino a
H(0) = h(x), dunque h^(-1)(h(t)) e' molto vicino a h^(-1)(h(x)) = x, ma
h^(-1)(h(t)) = t. Dunque t dovrebbe essere molto vicino sia a 0 che a x.
Assurdo. 

C) Essendo semplici, le curve alpha_1 e alpha_2 si avvolgono intorno
all'origine 1 volta, oppure -1 volta, oppure 0 volte. Bisogna mostrare che
alpha_2 si avvolge 0 volte. Dall'ipotesi segue che alpha_1 si avvolge o 1
o -1 volta. Se alpha_2 si avvolgesse 1 o -1 volte allora l'unione delle
due curve sarebbe bordo di un dominio contenuto in Delta^*, quindi
l'integrale su alpha_2 sarebbe uguale od opposto a quello su alpha_1. 
Assurdo. 

D) Siano omega_1 = dz/(z-2) e omega_2=dz/(z+2). Siano inoltre beta_1 la
circonferenza di raggio 1 e centro 2 e beta_2 quella di raggio 1 e centro
-2. A meno di normalizzare le relazioni sono ovvie.

E) Come nel punto (B) una tale h fornirebbe una corrispondenza tra forme e
curve nei due domini, e manterrebbe la chiusura. Ora dal punto (C) segue
subito che in Delta^* non esistono coppie di forme e curve come nel punto
(D), e si conclude.

Alternativamente, come sopra si puo' considerare h da A in Delta^* e la
sua estensione H ai due punti mancanti. Se H(2) o H(-2) sono sul bordo
del disco si conclude col principio del massimo. Se uno di loro e' interno
al disco ma non nullo si conclude come sopra con la continuita'. Se
entrambi sono nulli bisogna invece usare il teorema di mappa aperta.