MATEMATICA 3 - SCRITTO DEL 26/5/01 - SOLUZIONI

1A)	Se alpha(t1)=alpha(t2) dall'uguaglianza delle z segue che t1^2=t2^2 
	dunque sin(t1)=sin(t2) e cos(t1)=cos(t2). Ne segue che alpha e' 
	semplice e chiusa.
	Per t=-pi,-pi/2,0,pi/2 la alpha passa per i punti 
	(-1,0,0),(1,pi^2,0),(0,3pi^2/4,1+pi^2/4),(0,3pi^2/4,-(1+pi^2/4)
	che non sono complanari.

1B)	E' come integrare una 1-forma sulla curva piana (cos(t),pi^2-t^2), ma 
	questa curva percorre due volte uno stesso arco in versi opposti.

1C)	La curva e' simmetrica rispetto al piano xz.

1D)	Si tratta di integrare tra -pi e pi la funzione -2t(1+t^2)sin(t). 
	Questo si fa facilmente per parti e si trova 4pi^3-20pi.




2A)	Si tratta della soluzione di un problema di Cauchy lineare omogeneo
	con dato iniziale nullo.

2B)	Si applica il punto precedente alla x1-x2.

2C)	Ha dimensione al piu' 1 per il punto B. Ha in effetti dimensione 1
	perche' consiste delle funzioni multiple della 
	x(t) = exp(integrale tra 0 e t di f(s)ds)

2D)	(1/x)' = -x'/x^2  =>  (1/x)' = (1/x) (-f)

2E)	(x')' = x'' = x' f + x f' = x' f + (x'/f) f' = x' (f + f'/f)

2F)	(x y)' = x' y + x y' = x f y + x y g = (x y) (f + g)

2G)	Per il punto F la Phi ha davvero immagine in V(f+g). Inoltre e' 
	lineare e non nulla.


3A,B)	Il denominatore si fattorizza come (z+i)^2 * (z-2i)^2 e il
	numeratore non si annulla per z=-i e per z=2i.

3C) 	I(p) non e' definito se l'integrale non converge, cioe' se la
	circonferenza di integrazione contiene uno dei due poli. Quindi V
	consiste delle circonferenze di raggio 2 e centri -i e 2i.

3D) 	I(p) vale 2 pigreco i volte la somma dei residui di f nei poli
	contenuti nel disco di centro p e raggio 2. Se si sposta di poco
	la circonferenza questi poli non cambiano, quindi non cambia il
	valore di I. La funzione I e' allora localmente costante 
	ed e' definita su tutto Omega (perche' esso e' supposto 
	disgiunto da V). Una funzione localmente costante su un 
	connesso e' costante.

3E) 	C-V consiste di 4 regioni connesse, sulle quali il valore e' 2 pigreco
	i moltiplicato per, rispettivamente, 0, r1, r2, r1+r2, dove r1 e'
	il residuo di f in -i e r2 e' quello in 2i. Per calcolare r1
	bisogna derivare e valutare in -i la funzione (z^3+2iz^2+1)/(z-2i)^2.
	Analogamente per r2.

3F) 	f2(z)=(z^3+2iz^2+1)/(z+i)^2. Dobbiamo percio' esprimere z^3+2iz^2+1
	in potenze di z+i. Naturalmente compaiono fino alla terza. Calcolandole
	si ricava z^3+2iz^2+1 = (z+i)^3 -i (z+i)^2 -5 (z+i) + 5i dunque
	a(-2)=5i, a(-1)=-5, a(0)=-i, a(1)=1. Analogamente per f1.