Matematica III - Scritto del 24/9/01 - Soluzioni


Esercizio 1.

A. L'unica soluzione polinomiale e` quella sempre nulla che si ottiene per a=0.

B. Posto y(t)=-xa(-t), si verifica che y risolve lo stesso problema di Cauchy
con dato iniziale -a.

C. Essendo xa crescente e positiva per t<0, essa esiste fino a -infinito ed
ha limite finito, dunque la sua derivata deve avere limite nullo. Passando al 
limite nell'equazione si trova che il limite di xa deve essere 0.

D. Nel punto di intersezione con la retta x=t la xa ha tangente orizzontale, 
dunque entra nella regione di decrescenza e resta positiva. Quindi esiste
fino a +infinito e (come sopra) ha limite 0.

E. Con gli stessi argomenti di sopra si verifica subito che xb ha limite 0 se b<0.
Se invece 0<b<a la xb e` costretta tra 0 e xa, dunque ha anche lei limite 0.

F. Se x>2t allora x-t>x/2 onde x' > 1/2 t^2 x^2.  La soluzione dell'equazione
y' = 1/2 t^2 y^2 e` y(t)=(1/a-t^3/6)^(-1) che scoppia per t=radcub(6/a).
Si conclude per confronto.

G. Cerchiamo a grande abbastanza perche' la disuguaglianza x(t)>2t valga di sicuro
sull'intervallo [0,radcub(6/a)], in modo che x sia costretta a scoppiare prima.  
Dato che x cresce, basta che a>2radcub(6/a), ovvero che a^4>48.


Esercizio 2.

A. (k1*f1 + k2*f2 ) * g = k1 * (f1*g) + k2 * (f2*g) e sappiamo che l'insieme 
delle funzioni olomorfe su Omega e` uno spazio vettoriale.

B. Se f ha un polo in z0 e g ha un polo oppure un valore non nullo allora f*g ha un polo.

C. In z=0 lo sviluppo e` uno qualsiasi in cui il coefficiente di z^n sia nullo per 
n minore di -2. Similmente in z=i lo sviluppo e` uno qualsiasi in cui sia nullo il
coefficiente di (z-i)^n per n minore di 3.

D. Abbiamo gia' visto sopra che se g e` priva di zeri allora ogni f in V(G) e` olomorfa.
Viceversa se g(z0)=0 allora V(g) contiene la funzione z/(z-z0) che ha un polo in z0.

E. Vicino ad ogni punto z0 di Omega possiamo scrivere f come (z-z0)^k * F(z) 
dove F e` olomorfa in z0 e non si annulla.  L'intero k e` sempre nullo tranne che
negli zeri e nei poli di f, e l'integrale di sinistra e` la somma di tutti tali interi
k al variare di z0 nell'insieme Lambda.  Similmente g(z0)=(z-z0)^h * G(z) e 
l'integrale di destra e` la somma di tutti tali h.  La condizione che f*g sia
olomorfa significa precisamente che k+h e` non negativo per tutti gli z0, onde
la conclusione immediata.

F. Segue sia da quanto appena detto sia da quanto esemplificato nel punto C che i 
possibili sviluppi di Laurent di una f in V(g) in un punto z0 dipendono dall'ordine
di g in z0.  Dunque V(g1)=V(g2) se e solo se g1 e g2 hanno in tutti i punti il medesimo 
ordine. Il che equivale al fatto che la funzione h=g2/g1, a priori meromorfa e con zeri, 
sia in realta' olomorfa e priva di zeri.

G. L'idea e` che la funzione che ad f associa f*g1 e` un isomorfismo da V(g1) su O(Omega),
e similmente per g2. Formalmente, poniamo T(f)=f*g1/g2, intendendo che T(f) ha 
singolarita' (eventualmente eliminabili) negli zeri di g2 e nei poli di f, g1 e g2.
E` facile vedere che la T e` ben definita e lineare. E` un isomorfismo perche'
la sua inversa S si scrive allo stesso modo: S(f)=f*g2/g1.