MATEMATICA 3 - SCRITTO DEL 18/6/01 - SOLUZIONI

1A)	d w1 = 0
	d w2 = -2 l x y dx dy
	d w3 = -(l-2) y^2 dy dz + 4 x y dx dy
	
	w1 e' sempre chiusa, dunque sempre esatta
	w2 e' chiusa, dunque esatta, solo per l=0
	w3 non e' mai chiusa, onde non e' mai esatta.

1B)	E' chiusa su R^3, dunque esatta, solo per l=2.

1C)	Supponendo la gamma bordo di una superficie S, l'integrale e' 
	quello su S della 
	- (l-2) ( 2 x y dx dy + y^2 dy dz )
	ed e' facilissimo trovare S tale che esso sia sempre nullo. 
	Ad esempio S contenuta in un piano y=costante oppure in un
	piano orizzontale z=costante e simmetrica rispetto agli assi 
	x oppure y.

1D) 	La alpha si parametrizza come (t,t,t) per t>0 e 
	l'integrale e' quello della funzione
	(l+1)t, dunque e' finito solo se l=-1.

1E)	beta e' la circonferenza sul piano z=1 di centro (1,1,1) e raggio 1. 
	Dobbiamo dunque integrare sul disco orizzontale 
	di centro (1,1,1) e raggio 1 la
	- (l-2) ( 2 x y dx dy + y^2 dy dz )
	A meno del fattore - 2 (l-2) abbiamo allora l'integrale 
	su r tra 0 e 1 su t tra 0 e 2pi di 
	(1 + r cos(t))(1 + r sin(t)) r dr dt. 
	La parte dipendente da t si
	integra a zero, dunque alla fine viene - 2 (l-2) pi.






2A) 	Se k esiste si sceglie x=0 e y=k e tutto torna. Se esistono x e y si
	pone k=y-x e h(z)=g(z+k). Allora h^n(x)=g^n(x+k)=g^n(y)=f^n(x) 
	quindi h=f per il primo principio di identita' tra funzioni
	olomorfe.

2B) 	Se k esiste si pone x=1 e y=k e tutto torna. Se esistono x e y si
	pone k=y/x e h(z)=g(kz). Allora h^n(x)=k^n g^n (y)=f^n(x) e si
	conclude come sopra.

2C) 	Fissato p si applica il punto (A) di sopra a xp e yp e si trova che
	f(z)=f(z+yp-xp) per ogni z. Cio' vale per ogni p. Posto
	h(z)=f(z)-f(0) e zp=yp-xp si ha che h(zp)=0 e zp -> 0. Allora h ha
	uno zero non isolato in 0, dunque e' sempre nulla, e f e'
	costante.

2D) 	Fissato p si applica il punto (B) di sopra con x=1 e y=e^(ip). Si
	deduce che f(z)=f(e^(ip) z) per ogni p e per ogni z. Posto
	h(z)=f(z)-f(1) si ha che la h ha uno zero non isolato in 1, e si
	conclude come sopra.





3A)	Per t=-1 si ha x'<0, dunque procedendo verso sinistra la x cresce. 
	Continua a crescere verso sinistra finche' non interseca l'iperbole 
	xt=1, ma dovrebbe intersecarlo con tangente orizzontale, mentre 
	viene da sotto ed anche l'iperbole cresce verso sinistra. Quindi 
	continua a crescere stando sotto l'iperbole, ed ha limite L <= 0. 
	La derivata ha allora limite L/2, dunque L=0.

3B)	La soluzione parte da sopra l'iperbole crescendo, quindi resta sopra 
	e continua a crescere, quindi ha limite finito o +infinito. 
	Ora x'=(x/2)+(-1/t). Il primo termine ha limite finito o +infinito,
	il secondo ha limite +infinito, dunque in tutto fa +infinito.
	
3C)	La soluzione relativa a un certo k cresce e rimane sotto quella 
	relativa a k+1, dunque esiste fino a 0.

3D)	Procedendo da -1 verso sinistra, finche' x esiste e rimane positiva 
	si ha x'=x/2-1/2t>1/2t. Dunque x rimane sotto la soluzione della 
	y'=-1/2t con lo stesso dato iniziale. Poiche' y(t)=k-log(-t)/2 la 
	x raggiunge lo 0 al piu' tardi per t=-e^(2k)<-1.

3E) 	Basta riferirsi a k > 0. Consideriamo una soluzione dell'equazione 
	y' = -1/t + c con un diverso dato iniziale h (che poi determineremo). 
	La soluzione e' data da y(t) = - log(-t) + c(t+1) + h. Dunque esiste 
	fino a t=0. Se scegliamo h>k abbiamo che x(-1)<y(-1). Per garantirsi 
	che la x resti sotto la y (e dunque esista) fino a 0, basta garantirsi 
	che se esiste un valore di t in (-1,0) per il quale
	x(t)=y(t) si ha x'(t)<y'(t), da cui si deduce che in realta' 
	quel valore di t non esiste. Se x(t)=y(t) sostituendo nelle equazioni 
	abbiamo:
		x'(t)= - log(-t) /2 + c(t+1)/2 + h/2 -1/(2t)
		y'(t)= - 1/t + c
	Essendo t+1<1 basta scegliere c=h per avere che c(t+1)/2 + h/2 < c.
	Resta la disuguaglianza -log(-t) < - 1/t che equivale a 
	log(s)<s per s>1 ed e' vera.