Matematica III - Scritto del 10/9/01 - Soluzioni


Esercizio 1.

A. Se x avesse grado d>0 allora (t^2+x^2)x' avrebbe grado d+1 e x-1 avrebbe
grado al massimo d. Quindi d=0, dunque x deve essere costante, onde a=1.

B. La soluzione e' crescente, onde esiste fino a -infinito. La funzione
(x-1)/(t^2+x^2) si maggiora con 1/4 per x>1, onde per t>-1 la soluzione sta sotto
la retta a+(t-1)/4, percio' esiste fino a +infinito.

C. La soluzione e' decrescente, onde esiste fino a -infinito. La funzione
(x-1)/(t^2+x^2) scoppia solo per (t,x)=(0,0) ed ha limite zero per |t|+|x|
che tende a infinito. Quindi sul semipiano x <= a con a<0 e' maggiore di
qualche costante m (che dipende da a). Dunque per t>-1 la soluzione
sta sopra la retta a+m(t-1), percio' esiste fino a +infinito.

D. Per 0 <= a < 1 la soluzione resta compresa tra quella per a=-1 e quella per a=1.

E. Stesso discorso, notando che l'unico caso nel quale il problema di Cauchy smette di
avere significato e' quello in cui x(0-)=0.

F. E' chiaro che e' limitata verso -infinito. Basta ora vedere che e' superiormente
limitata per a>1 e inferiormente limitata per a<0. Nel primo caso, si ha che x-1>0 per
t>-1, onde x' < (x-1) / t^2, e per confronto con le soluzioni di x' = (x-1) / t^2,
otteniamo x_a < 1 + c exp(-1/t), per una opportuna costante c. Se a < 0 si ha che x-1<0
dunque x' > (x-1) / t^2 e si conclude analogamente.

G. Per a in [0,1] la soluzione esiste su [-1,0) ed e' decrescente. Dunque
xa(0-) esiste per ogni a in [0,1]. Inoltre xa(0-) e' 
positivo per a=1 e negativo per a=0. Se accade che xa(0-)>0 per un certo a, allora lo 
stesso accade per gli a piu' grandi. Dunque l'insieme degli a tali che xa(0-)>0
e' un intervallo del tipo (w,1] oppure [w,1]. Similmente se xa(0-)<0 allora
e' vero anche per gli a piu' piccoli, pertanto l'insieme degli a tali che xa(0-)<0
e' un intervallo del tipo [0,y] oppure [0,y). I due intervalli sono disgiunti, dunque
y<=w. Allora a=(y+w)/2 non appartiene a nessuno dei due intervalli, percio' e'
il valore cercato.


Esercizio 2.

A. Per ipotesi l'integrale di omega su ogni curva semplice e chiusa che
circondi solo (0,1) o solo (0,-1) e' diverso da 0 e quindi omega non puo'
essere esatta sui domini 1, 2 e 4. E' invece esatta sui domini 3 e 5 poiche'
l'integrale di omega su ogni cammino chiuso semplice che
circondi sia (0,1) sia (0,-1) e' uguale a 0 essendo uguale a +/- la differenza
degli integrali di omega su gamma_1 e gamma_2.

B. (x,y,z) sta in T se e solo se il disco di centro (x,y) e raggio z contiene
i punti (0,1) e (0,-1). Dunque (x,y,z) sta in T se e solo se
x^2+(y-1)^2 <= z^2 e x^2+(y+1)^2 <= z^2.

C. I due coni sono definiti precisamente dalle due equazioni appena scritte.

D. Sk e' l'intersezione dei dischi di raggio k e centri (0,1) e (0,-1).

E. Per k>1 il bordo di Sk e' formato da due archi di circonferenza con estremi comuni
nei punti (-rad(k^2-1),0,k) e (rad(k^2-1),0,k), e tali archi formano angoli minori di 
pi tra loro. Ne segue che il bordo di T e' l'unione delle due superfici parametrizzate 
come segue:

(x,-1+rad(k^2-x^2),k)	k >=1 	-rad(k^2-1) <= x <= rad(k^2-1)
(x,+1-rad(k^2-x^2),k)	k >=1 	-rad(k^2-1) <= x <= rad(k^2-1)

La loro unione non e' una superficie perche' formano angoli minori di pi lungo il loro
bordo comune. 

F. Essendo la funzione integranda positiva, l'integrale e' maggiore
dell'integrale fatto su T intersecato y>0. Integrando prima in z tra
radice (x^2 + (y-1)^2) e +infinito otteniamo la funzione exp(-y) da integrare
in y tra 0 e +infinito e poi in x tra -infinito e +infinito. Si ottiene cosi' +infinito.

G. Sk e' vuoto se k < 1 e l'integrale non ha senso, mentre e' un
punto se k=1, e l'integrale fa 0. Inoltre, poiche' sul bordo di Sk la z e' costante,
l'integrale coincide con l'integrale di omega sulla proiezione del bordo di Sk nel
piano x,y. Tale proiezione contiene i punti (0,1) e (0,-1) per k=2 e quindi
per tale valore di k l'integrale non e' definito. Per tutti gli altri valori
l'integrale fa 0.

F. Poiche' su S2 si ha z=2, si deve integrare 4(x-(y+1))dxdy. Per il teorema di
Stokes si puo' integrare 2x^2 dy + 2(y+1)^2 dx sul bordo di S2. Una
parametrizzazione dei due archi del bordo di S2 si ottiene ponendo x= 2 cos(t)
y= 2 sin(t) - 1 con t che varia tra (pi greco)/6 e 5/6(pi greco) e
x= 2 cos(t) y= 2 sin(t) + 1 con t che varia tra 7/6(pi greco) e 11/6(pi greco).
In entrambi i casi dx= -2 sin(t) dy= 2 cos(t).
Sul primo arco si deve integrare 16 cos(t)^3 - 16 sin(t)^3, mentre sul secondo
arco si deve integrare 16 cos(t)^3 - 16 sin(t)^3 - 32 sin(t)^2 - 16 sin(t).
I termini con cos(t) danno 0, mentre i termini con sin(t)^3 si annullano a
vicenda. Una primitiva di sin(t)^2 e' -sin(t)cos(t) + t/2 per cui il termine
con sin(t)^2 da' - 16 radice(3) - 16/3(pi greco). Il termine con sin(t) da'
16 radice (3) e quindi l'integrale fa -16/3(pi greco).