1A) I coefficienti di Laurent a_n valgono 1 per n compreso tra -k e -1 e valgono 0 per n piu' piccolo di -k. Dunque si ha un polo di ordine k con residuo 1. 1B) Si tratta della differenza dei residui, dunque fa sempre 0. 1C) Si' perche' la funzione integranda e' olomorfa sull'insieme meno il piccolo disco. 1D) Se k_2 >= k_1 la funzione integranda e' olomorfa, dunque l'integrale e' nullo. Se invece k_1 > k_2 e si pone n = k_1 - k_2, moltiplicando sopra e sotto per z^{k_2} si trova l'integrale di una funzione del tipo (z^(-n)+z(-n+1)+...+z^(-1)+a(z)) / (1+b(z)) con a e b olomorfe e b nulla in z_0. Dunque l'integrale fa 1. 1E) No perche' f_2 potrebbe degli zeri. 1F) In 0 il polo rimane di ordine k e in z_1 ha ordine 1. Per trovare il residuo di g in 0 sviluppiamo 1/(z-z_1) in 0, che risulta -(1/z_1)(1-(z/z_1)) cioe' la somma per n che va da 0 a infinito di (1/z_1)^(n+1) z^n. Moltiplicando lo sviluppo di f con quello di 1/(z-z_1) cerchiamo il coefficiente di z^(-1) che risulta -1/z_1 - 1/(z_1^2) - ... - 1/(z_1)^k (che volendo si esprime in modo piu' facile). 1G) La f e' continua sulla curva che borda l'insieme, dunque si tratta di un fatto visto nel corso (derivazione sotto il segno di integrale). 1H) Essendoci un polo di ordine k, l'integrale di sinistra risulta -k + somma degli ordini di zero. Percio' tale somma fa almeno due. Se ci sono due zeri, la funzione non e' iniettiva. Se c'e' uno zero almeno doppio, di nuovo la funzione non e' iniettiva (fatto non banale visto al corso: f(z)=(g(z))^n con g'(0) non nullo ). 2A) Se x e' soluzione pari x(t)=x(-t) onde x'(t)=-x'(-t), ma dall'equazione segue che x'(-t)=x'(t). Percio' x' dovrebbe essere sempre nulla ed x sarebbe costante. Nessuna costante risolve l'equazione. 2B) Se x e' soluzione dispari allora x(0)=0 ma nessuna soluzione passa per (0,0). 2C) Sia c>0 (per comodita' c<1) tale che la soluzione esiste su [-c,c]. Sia R>1 e dimostriamo che esiste su [c,R]. Su [-R,-c] sara' analogo. Su [c,R] si ha: (log(t^2+x^2))/(1+x^2) =< (log(R^2+x^2))/(1+x^2) =< R^2, (log(t^2+x^2))/(1+x^2) >= (log(c^2))/(1+x^2) >= log(c^2). Cio' dimostra che su [c,R] la soluzione rimane compresa tra due rette, dunque si estende a tutto l'intervallo. 2D) Certamente nessuna soluzione decresce sempre, dato che appena esce dal disco unitario cresce. Saranno sempre crescenti le soluzioni che non passano da tale disco. Cio' accade esattamente se |a| >= 1. Infatti, ad esempio se a>1, la soluzione parte sopra il disco e: - verso destra cresce e quindi non puo' entrare nel disco; - neppure verso sinistra puo' entrarci, perche' entrandoci dovrebbe avere tangente orizzontale, quindi proverrebbe gia' dall'interno. 2E) Dalla crescenza per |t| >= 1 segue che i limiti esistono. Se per t che va a +infinito il limite fosse finito allora x' tenderebbe a 0, ma dall'equazione segue che invece x' tende a +infinito. Similmente a -infinito. 2F) Dato che x(t)/t tende a m, si ha mt/2>0. Dunque (log(t^2+x(t)^2))/(1+x(t)^2) < (log(t^2+(2mt)^2)/(1+(mt/2)^2) che tende a 0. 2G) Si ha y(t)+(y(t)^3)/3 = t(log(5/4)-1) + k onde k = a + (a^3)/3 e l'unico zero e't = (a+(a^3)/3) / (1-log(5/4)) 2H) La soluzione e' positiva per t=0. Esaminando crescenza e decrescenza (punto D) e usando il punto E, si deduce che basta (e bisogna) mostrare che x si annulla per qualche t compreso tra 0 e 1/rad(e). Su tale intervallo la x cresce, dunque finche' non si annulla si ha log(t^2+x^2) < log (1/e+a^2) < log (1/e+1/4e) = log(5/4)-1. Dunque x' < y' e per confronto si ha x < y finche' x non si annulla. Basta allora vedere che y si annulla tra 0 e 1/rad(e), cioe' che a+a^3/3 < (1-log(5/4))/rad(e). Basta poi vedere questo per a = 1/(2rad(e)), ed e' ovvio.