MATEMATICA 3 - SCRITTO DEL 9/7/01 - SOLUZIONI 1A) Dalle rette x=-1, x=1 e x=t che la soluzione non puo' attraversare il piano viene diviso in 6 regioni, che indicheremo con alto/centro/basso e sinistra/destra. Qui siamo in alto a sinistra e la soluzione cresce. Sicuramente e' minorata da +1, e o scoppia a +infinito o e' definita su R, ma allora in t vale almeno t. 1B) Qui siamo in basso a destra, la soluzione decresce ed e' maggiorata da -1. Se non scoppia a -infinito e non ha limite -infinito allora si appoggia a un asintoto orizzontale, ma ci sono solo gli asintoti x=+1 e x=-1. 1C) Qui siamo al centro a destra e la soluzione cresce. Verso destra esiste perche' e' limitata da +1. Verso sinistra essendo imprigionata tra le due rette non puo' che finire nella loro intersezione. 1D) Qui siamo in alto a destra, e la soluzione decresce. Verso destra esiste sempre e dovendo appoggiarsi ad un asintono ha limite +1. Verso sinistra si ferma quando incontra la retta obliqua, a destra di t=1. 1E) Sono le y(t) = -1 + c e^t. 1F) Dentro il triangolo si ha (x^2-1)/(x-t) > x+1. Dunque per 0 y(t) dove y'=y+1 ha lo stesso dato iniziale. Il dato iniziale y(0)=2/e-1 corrisponde alla soluzione che per t=1 vale 1. Quindi le soluzioni con dati iniziali piu' grandi escono dal triangolo (cioe' si fermano) prima che per t=1 1G) Per separazione delle variabili si ottiene che la soluzione generica dell'equazione soddisfa la relazione (1+z)/(1-z) = k (1+t)^2. Siccome z0 < -1 si ha k < 0. Ora si esplicita z(t) = ( k (1+t)^2 - 1 ) / ( k (1+t)^2 + 1 ). La soluzione scoppia quando k (1+t)^2 + 1 = 0 cioe', usando il valore di k, quando (1+z0)/(1-z0) * (1+t)^2 + (1+t0)^2 = 0 . Ora -1 < (1+z0)/(1-z0) < 0 dunque cio' accade per |1+t| > |1+t0|. Cio' dimostra che t0 sta nell'intervallo di esistenza della soluzione che contiene anche -1. Chiaramente allora la z ha massimo -1 per t=-1 ed ha due asintoti verticali (lungo cui tende a -infinito) simmetrici rispetto a t=-1. Tutto segue. 1H) Siamo in basso a sinistra, la x cresce. Inoltre (x^2-1)/(x-t) < (x^2-1)/(-1-t). Dunque procedendo da t0 verso sinistra la x rimane sotto la soluzione z dell'equazione z'=(z^2-1)/(-1-t) avente lo stesso dato iniziale. Tale z incontra ancora (verso sinistra) la retta obliqua, dunque la x esce dalla regione (cioe' si ferma) prima di -infinito. Verso destra da t0 la x cresce, quindi o arriva nell'angolo (-1,-1) dove si ferma o incontra la retta obliqua. Ma su tale retta dovrebbe avere tangente verticale, mentre ci arriva crescendo. Ne segue che x si estende continua a sinistra di -1 con x(-1)=-1. Derivando la (x-t)x'=x^2-1 si trova (x-t)x''=x(1+x') dunque x'' e' negativa, e si deduce che x' ha in -1 una derivata sinistra a. Ora si sostituisce x(t)=-1+a(t+1)+o(t+1)^2 nell'identita' (x-t)x'=x^2-1 e si trova subito a=0. 2A) L'equazione reale e' (x^2 - y^2 - 1)^2 + 4 x^2 y^2 = r^2 2B) |z^2-1| >= |z|^2 - 1 dunque |z|^2 <= 1 + r su Xr 2C) Sostituendo x=ay+b oppure y=ax+b si trova una equazione di quarto grado, che non puo' essere banale 0=0 altrimenti Xr conterrebbe la retta, mentre e' limitato. 2D) Per x=0 l'equazione diventa 1+y^2=r che non ha soluzione per r<1. Dunque Xr non incontra l'asse immaginario, ed e' simmetrico rispetto ad esso, quindi e' sconnesso. 2E) Derivando l'equazione reale si trova 4x(x^2-y^2-1)+8xy^2 -4y(x^2-y^2-1)+8x^2y dunque il gradiente e' non nullo a meno che x(x^2+y^2-1)=0 y(x^2+y^2+1)=0 dunque solo per y=0 e x che vale 0,1,-1. Per x=y=0 si trova r=1, gli altri valori darebbero r=0. 2F) Usando un moltiplicatore di Lagrange k si vede che 2x + k ( 4x (x^2-y^2-1) + 8 x y^2 ) = 0 2y + k ( -4y (x^2-y^2-1) + 8 x^2 y ) = 0 onde facilmente xy=0. Il massimo e' allora 1+r. 2G) L'equazione in t risulta t^4 - cos(2theta) t^2 + r^2-1 = 0. Dato che r^2-1 < 0 c'e' una sola zoluzione positiva per t^2, dunque una sola per t. 2H) Basta scegliere z0=0 e notare che l'integrale fa sempre f(0). 2I) Scegliamo r=2, z0=10, r'=1000, f(z)=z. Allora il primo integrale fa 0 e il secondo fa 10. 2J) Ricordiamo che la funzione z -> z^2 manda il semipiano superiore su tutto il piano raddoppiando l'argomento di ogni numero (cambia anche i moduli, ma questo non ci interessa). Chiediamoci quale figura nel semipiano delle z dia luogo nel piano delle w=z^2 alla circonferenza di equazione |w-1|=r. Il valore critico e' r=1 (come sappiamo gia' dal punto E) perche' e' per r=1 che la circonferenza passa per il punto 0 di ramificazione della funzione z -> z^2. Se r<1 nel semipiano delle z abbiamo due archetti disgiunti con estremi l'uno reali positivi e l'altro reali negativi. Se r>1 invece abbiamo un solo arco con estremi reali, uno positivo e uno negativo. Per r=1 abbiamo due archi che pero' hanno entrambi un estremo in 0 (l'altro estremo e' reale, positivo per un arco e negativo per l'altro). Quindi per r<1 l'insieme Xr e' qualitativamente come due circonferenze, per r>1 e' come una sola circonferenza, per r=1 invece e' un 8, cioe' e' una curva che pero' si autointerseca in un punto.