Soluzione dello scritto di "MATEMATICA III" del 08/01/2001 ESERCIZIO 1. A) I bordi di Sigma_1 e di Sigma_2 sono b = {(x,y,z): x^2+y^2=1 e z=0}. Una orientazione di Sigma_1 induce un senso di circolazione alla curva b (una circonferenza), e a sua volta tale senso di circolazione induce un'unica orientazione su Sigma_2. B) Si consideri la parametrizzazione di Sigma_1 data da f(r,t)=(r*cos(t),r*sin(t),1-t^2) con r in [0,1] e t in [0,2pi]. La funzione integranda non dipende ora da t, dunque il risultato e' 2pi volte l'integrale tra 0 e 1 di r(1-r^2)*radice(1+4r^2). La primitiva di r*radice(1+4r^2) e' (1/12)*(1+4r^2)^(3/2). La primitiva di r^3*radice(1+4r^2) e' (1/120)*(6r^2-1)*(1+4r^2)^(3/2) (lo si vede integrando per parti ed usando la precedente primitiva). Ora sono calcoli. C) Essendo z = 1-x^2-y^2 si ha dy*dz = 2x*dx*dy, dunque la forma da integrare e' 2(x^2+y^2)*dx*dy. Passando a coordinate polari questa risulta subito pi. D) La differenza fra i due integrali in questione e' uguale all'integrale del differenziale della forma nel dominio (3-dimensionale) limitato da Sigma_1 e Sigma_2. Il diff e' k(exp(kz)+x^2) dx dy dz. Se k non e' nullo la funzione integranda e' sempre positiva o sempre negativa, dunque il suo integrale e' non nullo. Dunque k = 0. E) Il differenziale della forma x dy dz e' la forma volume, quindi la differenza dei due intergali e' il volume del dominio contenuto fra Sigma_1 e Sigma_2 (a meno del segno). La differenza degli integrali si puo' allora calcolare con un'altra forma il cui differenziale sia la forma di volume. La scelta z dx dy conduce a calcoli facili, sempre con le coordinate (r,t) di sopra. Il risultato e' pi/2. ESERCIZIO 2. A) Se x(t) e' una costante c allora c=0. Se invece e' un polinomio di grado n>0 allora la sua derivata e' un polinomio di grado n-1. Ora (x'(t))^2 = x(t) - t x'(t). Il membro sinistro ha grado 2(n-1) e quello destro ha grado al piu' n, quindi 2n-2 e' minore o uguale ad n. Percio' n e' al piu' 2. B) Sia x(t)=at^2+bt+c. Perche' l'equazione sia soddisfatta, a, b e c devono risolvere il seguente sistema: 4a^2+a=0; 4ab=0; c=b^2. Le soluzioni di questo sistema sono a=-1/4, b=c=0 e a=0, b=k e c=k^2 con k costante arbitraria reale, cosicche' le soluzioni polinomiali dell'equazione sono la parabola x(t)= -t^2/4 e le rette x(t)=kt+k^2 con k reale qualsiasi. C) In un intorno di (x=0,t=1) l'equazione si spezza nelle due equazioni x'(t) = 1/2(-t + radice(t^2+4x)) e x'(t) = 1/2(-t - radice(t^2+4x)). Ambedue hanno localmente un'unica soluzione che passa per t=0 e x=1 (le funzioni sono derivabili con derivate continue nell'intorno di tale punto). La soluzione della prima e' la costante zero. La soluzione della seconda e' tale che x'(1)=-1, quindi localmente e' decrescente. D) Come in (C), x'(t_0) e' soluzione di un'equazione di secondo grado in t_0 e x_0. Perche' cio' sia possibile, il discriminante di tale equazione deve essere non negativo: (t_0)^2 + 4x_0 >= 0. Quindi x_0 >= -1/4(t_0)^2. Viceversa, supponiamo che tale disuguaglianza sia soddisfatta, e sia K una soluzione dell'equazione di secondo grado K^2 + t_0 K -x_0 = 0. Allora la retta x(t) = K(t-t_0) + x_0 e' soluzione globale dell'equazione. Quindi i punti cercati sono tutti e soli quelli del tipo (t_0,x_0) per cui valga x_0 >= -1/4(t_0)^2. ESERCIZIO 3. A) f e' olomorfa in omega quindi il raggio di convergenza dello sviluppo di Taylor di f attorno a i e' esattamente la distanza di i dalla semiretta, quindi 1. B) Ogni z in omega si scrive in modo unico come r*exp(it) con r > 0 e |t| < pi. Inoltre r e t sono funzioni differenziabili (in senso reale) di z. Poniamo f(z) = log(r)+it. Allora exp(f(z)) = z. In omega possiamo differenziare questa funzione. Nel membro destro dzbar ha coefficiente nullo, dunque deve averlo anche in quello sinistro. Tale coefficiente risulta z (df/dzbar), dunque (df/dzbar) = 0 e f e' olomorfa. Alternativamente si puo' definire f(z) come l'integrale della forma dw/w lungo qualsiasi cammino che unisce 1 a z in omega. La semplice connessione di omega garantisce che la definizione e' coerente, per l'olomorfia di nuovo si differenzia, e si verifica che exp(f(z)) = z notando che questo vale per z reale ed applicando il principio di identita'. C) Per come e' stata definita la f in b), tale limite e' 2i*pi (ovvio con la prima definizione; con la seconda notare che il residuo di 1/w in 0 e' 1). D) Chiaramente deve essere r>0. Le singolarita' di f sono 0,-1,-2,-3. I residui in tali punti sono rispettivamente g(0)/6, -g(-1)/2, g(-2)/2, -g(-3)/6. L'integrale e' ben definito quindi per r diverso da 1,2,3. Per 03 vale 2*i*pigreco*(g(0)/6-g(-1)/2+g(-2)/2-g(-3)/6). E) Se f e' di classe C^1, allora dato che soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann su R^2-l le soddisfa anche su tutto R^2, quindi e' analitica su tutto C. Ma allora e' nulla per il principio di identita' (l non consiste di punti isolati). Se f e' solo continua si definisce g(z) come l'integrale su qualsiasi rettangolo che contiene z della forma f(w)dw/(w-z). Spezzando il rettangolo in al piu' tre rettangoli di cui ciascuno sia o disgiunto da l o avente un lato su l, si vede che la definizione non dipende dal rettangolo. Tale g e' olomorfa su C, e coincide con f su omega, e si conclude come sopra.