MATEMATICA III - A.A. 00/01 - Argomenti delle lezioni svolte

L01(01) - 03/10/00
	Richiami su completezza e compattezza di sottoinsiemi dei reali e
	dello spazio n-dimensionale. Richiami sulle successioni.

L02(02) - 03/10/00
	Richiami su continuita' e derivazione (parziale). Polinomio di
	Taylor, matrice hessiana. Integrale come area del sottografico.

L03(03) - 04/10/00
	Integrazione di funzioni continue, cambiamento di variabile.
	Integrazione su intervalli orientati. Integrali multipli,
	integrazione successiva, cambiamento di variabili. Integrali
	impropri. Richiami su spazi vettoriali e prodotti scalari.

E01(04) - 04/10/00
	Esercizio sulla convergenza di successioni.

L04(05) - 06/10/00
	Lunghezza di una curva ed integrazione di una funzione lungo una
	curva. Invarianza per riparametrizzazione. 1-forme e loro
	integrazione lungo le curve. Invarianza per riparametrizzazione
	orientata. Cambiamento del verso.

E02(06) - 06/10/00
	Esercizi sulla compattezza di insiemi. Jacobiano di funzioni
	invertibili. Insiemi connessi per archi.

E03(07) - 06/10/00
	Esercizi sui limiti di successioni.

E04(08) - 06/10/00
	Esercizi sull'integrazione in una e piu' variabili.

L05(09) - 10/10/00
	Curve semplici e chiuse, bordi di insiemi. Segno dell'elemento
	d'area. Differenziale di una funzione come 1-forma. Differenziale
	di una 1-forma, differenziale secondo di una funzione.

L06(10) - 10/10/00
	Formula di Stokes (Gauss-Green). Dimostrazione per il rettangolo e
	cenni al caso generale. Area come integrale lungo il bordo.
	Teorema della divergenza.

L07(11) - 11/10/00
	Forme chiuse ed esatte, potenziale. Esempio di chiusa non esatta.
	Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza. Insiemi
	"senza buchi" e condizione sufficiente per l'esattezza.

L08(12) - 11/10/00
	Superfici come spazi decomposti in aree parametrizzate da
	quadrati. Condizioni sulle parametrizzazioni. Elemento d'area,
	area di una superficie. Integrazione di 2-forme su superfici.
	Differenziale di una 1-forma.
	
L09(13) - 13/10/00
	Interpretazione di una 2-forma come scomposizione dell'elemento
	d'area su una superficie. Orientazione di una superficie e del suo
	bordo. Formula di Stokes per superfici a bordo orientate.

E05(14) - 13/10/00
	Esercizi sull'integrazione. Quiz sulla formula di Stokes per
	superfici con bordo.

E06(15) - 13/10/00
	Esercizi su lunghezze di curve.

E07(16) - 13/10/00
	Esercizi su 1-forme e loro integrali su curve.

L10(17) - 17/10/00
	Differenziale di una 2-forma, orientazione del bordo di un aperto
	dello spazio tridimensinale, formula Stokes. Teorema della
	divergenza e del rotore. Forma alternativa della formula di Stokes.

E08(18) - 17/10/00
	Esercizio su limiti ed integrazione.

L11(19) - 18/10/00
	Curve e superfici come graficie grafici locali. Definizione
	implicita di curve nel piano. Teorema del Dini.

L12(20) - 18/10/00
	Teorema di invertibilita' locale in due e piu' dimensioni. Teorema
	del Dini in piu' dimensioni (esplicitazione di un gruppo di
	variabili rispetto ad un altro gruppo).

E09(21) - 18/10/00
	Esercizi su integrazione di funzioni e forme, convergenza di
	successioni, differenziazioni di forme.

E10(22) - 20/10/00
	Esercizi su integrazione di forme su curve. Esempio di unicita'
	della soluzione di una equazione differenziale.

L13(23) - 20/10/00
	Vettori normali e tangenti a curve e superfici definite
	implicitamente. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni
	scalari su curve ed in generale per funzioni vincolate.	

E11(24) - 20/10/00
	Integrazione di funzioni su curve e superfici.

E12(25) - 20/10/00
	Area di sottoinsiemi del piano e di superfici. Integrazione
	di 2-forme su superfici.

L14(26) - 24/10/00
	Equazioni differenziali, ordine, problema di Cauchy, enunciato del
	teorema di esistenza e unicita' locale, estensione della
	soluzione ad un intervallo massimale, importanza delle stime a
	priori, esempi in cui il teorema non si applica.

L15(27) - 24/10/00
	Regolarita' delle soluzioni. Sistemi, riduzione dell'ordine, 
	esistenza e unicita' locale per sistemi e problemi di ordine	
	superiore al primo. Equazioni del primo ordine lineari, equazioni 
	esatte.
	
L16(28) - 25/10/00
	Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari, determinante 
	wronskiano, riduzione dell'ordine tramite una soluzione nota, metodo
	della variazione delle costanti.

E13(29) - 25/10/00
	Esercizi sulla formula di Stokes (per forme e per divergenze)

E14(30) - 25/10/00
	Esercizi su normali e tangenti a curve e superfici.   

L17(31) - 27/10/00
	Sistemi autonomi 2x2 e stabilita' del comportamento asintotico.

E15(32) - 27/10/00
	Discussione del quiz di prova assegnato.

E16(33) - 27/10/00
	Discussione del quiz di prova assegnato.

E17(34) - 27/10/00
	Discussione di esercizi vari su tutti gli argomenti finora svolti.

L18(35) - 31/10/00
	Equazioni differenziali a coefficienti costanti. La derivazione 
	come operatore. Enunciato del teorema di dipendenza continua dai 
	dati iniziali.

L19(36) - 31/10/00
	Approssimazione discreta di equazioni differenziali. Equazioni
	alle differenze. Esistenza e unicita' della soluzione.

E18(37) - 3/11/00
	Esercizi sul teorema del Dini (curve e superfici descritte come
	luoghi di zeri).

E19(38) - 3/11/00
	Esercizi sul teorema di invertibilita' locale e sui
	moltiplicatori di Lagrange (massimi e minimi vincolati).

E20(39) - 3/11/00
	Correzione del compitino del 28/10/00.

E21(40) - 3/11/00
	Esercizi su studio qualitativo di equazioni differenziali.

E22(41) - 7/11/00
	Esercizi sulle equazioni differenziali.	
	
E23(42) - 7/11/00
	Esercizi sulle equazioni differenziali.	

L20(43) - 8/11/00
	Inversione del tempo nelle equazioni alle differenze.
	Equazioni alle differenze lineari, spazio delle soluzioni.
	Equazioni lineari a coefficienti costanti, polinomio associato, 
	soluzioni. Operatore di shift. Accuratezza della approssimazione
	di una equazione differenziale.

L21(44) - 8/11/00
	Serie numeriche: una motivazione fisica. Convergenza (o
	meno) delle serie geometriche. Divergenza della serie armonica).

L22(45) - 10/11/00
	Criteri di convergenza delle serie a termini positivi e a termini 
	di segno alterno. Modifica della somma tramite riordino ed
	associazione dei termini. Serie assolutamente convergenti.

L23(46) - 10/11/00
	Serie e successioni di funzioni, convergenza puntuale e convergenza
	uniforme (norma dell'estremo superiore). Discontinuita' del limite
	puntuale di funzioni continue. Continuita' del limite uniforme di	
	continue. Criterio di derivabilita' termine a termine delle serie di
	funzioni.

E24(47) - 10/11/00
	Quiz sulle equazioni differenziali.

E25(48) - 10/11/00
	Esercizi sulle equazioni alle differenze.

L24(49) - 14/11/00
	Serie di potenze reali. Raggio di convergenza: caratterizzazione e
	metodi di calcolo. Derivabilita' termine a termine delle serie di
	potenze, caratterizzazione dei coefficienti come coefficienti di
	Taylor della funzione somma. Principio di identita' per serie di
	potenze.

L25(50) - 14/11/00
	Funzioni analitiche. Esempio di funzione infinitamente derivabile
	non analitica. Ricerca di soluzione analitica di una equazione
	differenziale, equazione alle differenze associata. Integrazione
	termine a termine delle serie di potenze. Prime considerazioni sulle
	funzioni complesse di variabile complessa.

L26(51) - 15/11/00
	Cenni alle funzioni complesse a piu' valori. Serie di potenze 
	complesse e raggio di convergenza. Le funzioni exp, cos, sin, cosh,
	sinh e i loro legami. Esempi di scrittura di funzioni in parte reale	
	ed immaginaria.

L27(52) - 15/11/00
	Trasformazione delle rette parallele agli assi tramite la funzione
	complessa sin. Forme differenziali complesse, esempi di
	integrazione. Derivabilita' in senso complesso, equazioni di
	Cauchy-Riemann.

E26(53) - 15/11/00
	Esercizi sulle serie numeriche.

L28(54) - 17/11/00
	Interpretazioni delle formule di Cauchy-Riemann: linearita' in senso
	complesso del differenziale reale, ortogonalita' delle curve di livello.
	Armonicita' delle parti reale e immaginaria di una funzione olomorfa.
	Funzioni armoniche coniugate. 

L29(55) - 17/11/00
	Olomorfia dei polinomi. Olomorfia di combinazioni lineari, prodotti, 
	composizioni, reciproche di funzioni olomorfe. Derivabilita' delle somme 
	di serie di potenze.

E27(56) - 17/11/00
	Esercizi su successioni e serie di funzioni, convergenza
	puntuale, uniforme e totale.
                                                                     
E28(57) - 17/11/00
	Esercizi su raggi di convergenza di serie di potenze.

L30(58) - 20/11/00
	Funzioni analitiche complesse, classi di funzioni analitiche. Curve di 
	livello	della parte reale e della parte immaginaria della funzione seno.
	Differenziazione di forme e funzioni espresse nella variabile complessa.

L31(59) - 20/11/00
	Esattezza delle forme f(z)dz con f olomorfa. Teorema di Cauchy-Goursat.
	Calcolo di alcuni integrali. Formula di rappresentazione di Cauchy. Cenno
	al problema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

L32(60) - 22/11/00
	Analiticita` delle funzioni olomorfe, caratterizzazione dei
	coefficienti, raggio di convergenza dello sviluppo.

L33(61) - 22/11/00
	Olomorfia del limite uniforme di olomorfe. Stime sul modulo delle
	derivate. Funzioni olomorfe limitate su tutto il piano.
	Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

E29(62) - 22/11/00
	Esercizi sulle serie di potenze complesse.

L34(63) - 24/11/00
	Zeri delle funzioni olomorfe e loro ordine. Sviluppo in serie di
	Laurent di una funzione olomorfa intorno a una singolarita`.
	Discussione della convergenza di una serie di potenze positive e
	negative.

L35(64) - 24/11/00
	Modulo di una funzione olomorfa vicino a una singolarita'. Teorema
	di estensione di Riemann (singolarita' eliminabile). Poli di una 
	funzione olomorfa e loro ordine. Singolarita' essenziali.

E30(65) - 24/11/00
	Discussione del quiz di prova assegnato.

L36(66) - 27/11/00
	Teorema di mappa aperta e principio del massimo. Insieme di
	convergenza di una serie di potenze positive e negative.
	Completamento del piano complesso con il punto "infinito" e
	corrispondenza con la sfera tramite la proiezione stereografica.

L37(67) - 27/11/00
	Funzioni meromorfe da aperti del piano completato al piano
	completato. Interpretazione di poli e singolarita' essenziali,
	esempi di zeri, poli, singolarita' essenziali al finito e
	all'infinito.

L38(68) - 29/11/00
	Teorema di mappa aperta e principio del massimo. Residui di una
	funzione olomorfa in una singolarita' isolata. Integrale di una
	funzione sul bordo di un insieme che contiene singolarita'.
	Calcolo di integrali indefiniti di funzione di variabile reale
	tramite la teoria dei residui.

E31(69) - 29/11/00
	Esercizi sulle funzioni sin, cos, exp di variabile complessa.

E32(70) - 29/11/00
	Esercizi ed esempi sugli sviluppi di Laurent.

E33(71) - 01/12/00
	Calcolo di integrali indefiniti tramite la teoria dei residui.

E34(72) - 01/12/00
	Calcolo di integrali indefiniti tramite la teoria dei residui.

L39(73) - 01/12/00
	Discussione della somma dei valori dei residui di una funzione
	razionale nulla all'infinito. Calcolo di vari integrali
	indefiniti, anche per funzioni che sono solo infinitesime
	all'infinito, e per funzioni che hanno poli sull'asse reale.

L40(74) - 01/12/00
	Teorema dell'indicatore logaritmico. Conformita' delle funzioni
	olomorfe. Funzioni lineari fratte agenti sulla sfera.
	Trasformazione di terne di punti. Rette e circonferenze sulla
	sfera. Corrispondenza tra disco e semipiano. 


L41(75) - 04/12/00
	Richiami su prodotti scalari (hermitiani), approssimazione di 
	vettori con combinazioni lineari, disuguaglianza di Bessel.
	Sistema ortogonale canonico sulle funzioni periodiche, 
	coefficienti di Fourier. Esempi di limite in media quadratica
	di funzioni continue a tratti. Indicatrice dei razionali.

L42(76) - 04/12/00
	Coefficienti di Fourier reali (funzioni trigonometriche) e loro
	proprieta' elementari. Somma parziale della serie come convoluzione
	con il nucleo di Dirichlet. Espressione di tale nucleo e sue 
	proprieta'. Lemma di Riemann-Lebesgue.

L43(77) - 06/12/00
	Convergenza puntuale della serie di Fourier. Convergenza uniforme
	per funzioni con derivata continua. Enunciato di altri criteri di
	convergenza. Derivabilita' e integrabilita' termine a termine
	della serie di Fourier. Rapporto tra serie di Fourier e	
	prodotto/convoluzione di successioni/funzioni.

E35(78) - 06/12/00
	Sviluppi in serie di potenze e di Laurent di funzioni razionali.

E36(79) - 06/12/00
	Sviluppo in serie della funzione inversa. Caratterizzazione dei
	biolomorfismi del disco.

L44(80) - 12/12/00
	Trasformazione di Fourier come limite della serie di Fourier. Formula 
	della trasformazione inversa. Criteri di esistenza della trasformata, 
	proprieta' della funzione trasformata, criterio di validita' della 
	formula di antitrasformazione.	

L45(81) - 12/12/00
	Proprieta' della trasformazione di Fourier: parita' e disparita', cambio
	scala, shift, convoluzione, integrale quadratico, derivazione.
	
L46(82) - 13/12/00
	Trasformazione di Laplace e sue principali proprieta'. Trasformazione di
	Laplace inversa. Trasformazioni di Mellin e Zeta.

L47(83) - 13/12/00
	Cenni alla funzione delta e al suo impiego nella determinazione della
	trasformazione di Fourier inversa e dei rapporti tra la trasformazione di Laplace,
	la trasformazione Zeta e la serie di Fourier.

E37(84) - 13/12/00
	Sviluppi in serie di Fourier di alcuni polinomi, e del prolungamento (pari o dispari) di
	un funzione). Calcolo della somma di alcune serie (numeriche) tramite le serie di
	Fourier.

E38(85) - 15/12/00
	Esempi di equazioni differenziali alle derivate parziali che si risolvono
	con l'ausilio delle serie di Fourier.

E39(86) - 15/12/00
	Esempi di equazioni differenziali alle derivate parziali che si risolvono
	con l'ausilio delle trasformazioni di Fourier e di Laplace.

E40(87) - 15/12/00
	Esercizi sulle trasformazioni di Fourier e Laplace.

E41(88) - 15/12/00
	Correzione del compitino di prova.