Soluzione dello scritto di "GEOMETRIA E ALGEBRA" del 28/05/2001


ESERCIZIO 1.

A) Sia A la matrice di f_k. Gli autovalori di A sono 2, k, 2-k.  Se k non e' 0,1
o 2 essi sono distinti, dunque A e' diagonalizzabile. Se k=0 la matrice 0I-A ha
rango 2, dunque l'autovalore 0 ha molteplicita' algebrica 2 e geometrica 1, e A
non e' diagonalizzabile. Se k=1 la matrice I-A ha rango 1, dunque l'autovalore 1
ha molteplicita' algebrica e geometrica 2, quindi A e' diagonalizzabile. Per k=2
la 2I-A ha rango 2, dunque A non e' diagonalizzabile.

B) Il piano generato dai vettori (1,0,0) e (0,0,1) ha tale proprieta'.  Il piano
generato da (0,1,0) e (0,0,1) non ce l'ha per k=2.  Il piano generato da (1,0,0)
e (0,1,0) non ce l'ha mai.

C) (0,k,-1).

D) (1,0,0) o un suo multiplo.



ESERCIZIO 2.

A) Le dimensioni sono 1 e 3.

B) P intersezione Q ha equazione parametrica {t(1,1,1,1): t in R} mentre P+Q ha
equazione cartesiana {w+x=y+z}

C) (1,1,1,1)/2,(1,-1,-1,1)/2,(1,-1,1,-1)/2,(1,1,-1,-1)/2

D) Una matrice e' ortogonale solo se manda una base ortonormale in un'altra
ortonormale. Allora A puo' essere definita imponendo 
A(v1)=v1, A(v2)=v3, A(v3)=v2, A(v4)=-v4 ed anche il determinante va bene

E) La A definita sopra va bene




ESERCIZIO 3.

A) Se Av = lv, allora v = AA ... AAv = ll ... llv (gli elementi A e l sono
ripetuti k volte), quindi l e' una radice k-esima dell'unita', quindi ha modulo 1.

B) 0 non appartiene a S.

C) Se A elevato alla k e' l'identita', anche A elevato alla -k e' l'identita'. 
Poiche' la trasposta di A per la trasposta di B e' la trasposta di BA, abbiamo 
che se A elevato k e' I, allora la trasposta di A elevata alla k e' la trasposta 
di I, cioe' I.

D) La matrice A con (0 -1) nella prima riga e (1 0) nella seconda e' una
rotazione di 90 gradi, per cui non ha autovalori reali, e AAAA=I.