Geometria e Algebra - Scritto del 24/9/01 - Soluzioni


ESERCIZIO 1.

A) E' il vettore (-3,3,0).

B) x+2y+z = 3

C) La base esiste. Ad esempio v1 = (3,0,0), v2 = (0,3/2,0), v3 = (0,0,3).

D) Due rette l come descritto sono parallele tra loro, quindi un piano e' ortogonale
all'una se e solo se lo e' all'altra.  Poiche' r passa per (0,0,3) ed ha direzione 
(1,-1,1), e la direzione ortogonale a P e' (1,2,1), le equazioni parametriche sono
(0,0,3)+t(1,-1,1)+s(1,2,1).


ESERCIZIO 2.

A) La condizione di annullamento in un punto e' lineare nei coefficienti 
del polinomio.

B) Se f(p)=p allora a=c e b=d, cioe' p=ax3+bx2+ax+b = (x2+1)(ax+b), 
quindi p(i)=p(-i)=0. D'altra parte, se p(i)=p(-i)=0 allora p si scrive
come (x2+1)q per qualche q=ax+b, quindi p=ax3+bx2+ax+b e f(p)=p.

C) g puo' essere definita da g(ax3+bx2+cx+d)=(dx3+ax2+bx+c)

D) Sia p1,p2 base di V e sia p1,p2,p3,p4 un completamento a base di 
R<=3[x]. Rispetto a tale base, h puo' essere definita come
h(t1,t2,t3,t4)=(-t1,-t2,t3,t4).




ESERCIZIO 3.

A) det Ak = 0 per k=4,1+radice(3),1-radice(3), ed fk e' non iniettiva
esattamente per questi valori. Inoltre, e' iniettiva se e solo se e' suriettiva.

B) det(xI-Ak) e' un polinomio di terzo grado in x, 
e come tutti i polinomi di grado 
dispari ammette una radice reale. Quindi Ak ammette un autovalore e fk
un autovettore.

C) Ak e' diagonalizzabile per tutti i k: 
le radici del polinomio det(xI-Ak) sono 4-k, 2+radice(k2-2k+2), 
2-radice(k2-2k+2). Sono sempre reali poiche' k2-2k+2>=1 per tutti i k. 
Gli autovalori sono reali e distinti per tutti i k, 
tranne per k=1: in questo caso gli autovalori sono 3,3,1. Poiche'
la matrice 3I-A1 ha rango 1, l'autovalore 3 ha molteplicita' geometrica 
e algebrica 2, per cui A1 e' diagonalizzabile.

D) Per k=1+i gli autovalori sono 3-i,2,2. Poche' la matrice 2I-A(1+i)
ha rango 2, la A(1+i) non e' diagonalizzabile.