Soluzione dello scritto di "Geometria e Algebra" del 18/06/01.

ESERCIZIO 1.

A) E' iniettiva, perche' se f(p(x))=0 allora p(x)=0.

B) g(f(p(x))=f(p(x))(0)=(p(x)(x^2+1))(0)=p(0)(0^2+1)=p(0), percio'
il Ker e' dato da tutti i polinomi senza termine noto.

C) Scegliamo come base di R4[x] i polinomi 1,x,x2+1,x3+x,x4+x2. Una h si
costruisce imponendo h(x2+1)=1, h(x3+x)=x, h(x4+x2)=x2 e scegliendo
arbitrariamente h(1) e h(x)

D) La derivata seconda di un polinomio di quarto grado ha grado al piu' due.
Quindi k dovrebbe avere valori nei polinomi costanti, quindi avrebbe rango al
piu' 1, ed anche fk avrebbe rango al piu' 1, mentre la derivazione seconda ha
rango 2.



ESERCIZIO 2.

A) Gli autovalori sono 1,(3+rad(1+4k2))/2,(3-rad(1+4k2))/2 e sono tutti positivi
se e solo se k e' compreso tra -rad(2) e rad(2).

B) (1,0,0),(1,-1,0),(0,0,1)

C) (rad(2),-1,0) o un suo multiplo

D) Se v=(a,b,c) e w=(d,e,f), allora <v,w>=ad+aek+bdk+2be+cf




ESERCIZIO 3.

A,B) Dalla seconda e dalla quarta coordinata segue che se fk(v)=0 allora v e'
multiplo di v0=(2,1,-1). Inoltre fk(v0)=(0,0,k^2-k,0) dunque la fk e' iniettiva
se k e' diverso da 0 e 1.

C) Sia P il piano ortogonale a v0. La funzione f1 ristretta a P e' iniettiva,
quindi f1(P) e' un piano, nel quale si possono trovare due vettori w1 e w2
ortogonali tra loro. Le controimmagini di w1 e w2 in P sono i vettori cercati

D) Se si prendono le matrici 4 per 3 relative ai casi k=0 e k=-1, con un po' di
calcoli si vede che i 6 vettori dati dalle colonne delle due matrici generano R4