Soluzione dello scritto di "Geometria e Algebra" del 09/07/01. ESERCIZIO 1. A) W e r si intersecano in (0,0,0). Esiste quindi una base (v1,v2,v3) di R3 tale che (v1,v2) sia base di W e v3 sia contenuto in r. Definiamo f imponendo f(vi)=ei per i=1,2,3 dove (e1,e2,e3) e' la base canonica di R3. B) Sia <,> il prodotto scalare canonico di R3. Definiamo '=. Allora <,>' e' il prodotto scalare cercato. C) Sia r' la retta ortogonale a W. Ogni vettore v di R3 si scrive unicamente come v=w+q con w elemento di W e q elemento di r'. Definiamo g(v)=w. D) La matrice nulla e' in X. Se due applicazioni A,B sono in X, la loro somma e' in X e se A e' in X allora kA e' in X per ogni k reale. E) Sia (v1,v2,v3) la base di R3 considerata sopra. Rispetto a tale base, una applicazione f da R3 in R3 e' letta come una matrice; f e' in X se e solo se la terza colonna e la terza riga sono del tipo (0,0,k). Quindi X e' lo spazio delle matrici che hanno valore 0 in quattro caselle fissate. Quindi X ha dimensione 9-4=5 ESERCIZIO 2. A) f puo' essere definita da f(1)=f(x)=f(x2)=0, f(x3)=1, f(x4)=x, f(x5)=x2 B) Se esiste tale f, allora Ker f contiene Im i, quindi dim(Ker f)>=dim(Im i)=m+1. Inoltre f e' suriettiva, quindi dim(Im f)=m+1. Allora n+1 = dim(ker f)+ dim(Im f) >= (2m +2). Se invece n>=2m+1 allora si puo' definire f imponendo f(xi)=0 per ogni i<=m, f(xi)=x(i-n-1) per ogni n2m+1. C) j puo' essere definita da j(1)=1+x, j(x)=x+x2, j(x2)=x2+x3 ESERCIZIO 3. A) Gli autovalori di Ak sono 1,1 e 2-k. Se k=1, la matrice -A1+I ha rango 1 per cui l'autovalore 1 ha molteplicita' algebrica 3 e geometrica 2, quindi A1 non e' diagonalizzabile. Se k e' diverso da 1, la matrice -Ak+I ha rango 1 e l'autovalore 1 ha molteplicita' algebrica e geometrica 2, mentre l'autovalore 2-k ha molteplicita' algebrica (e quindi geometrica) 1, quindi Ak e' diagonalizzabile. B) fk(0)=0 per ogni k, per cui 0 e' in W. Se v e w sono in W, allora fk(v)= fk'(v) e fk(w)=fk'(w) per ogni k,k'. Siccome le fk sono lineari, allora anche fk(v+w)=fk'(v+w) per ogni k,k'. Analogamente si mostra che se v e' in W anche hv e' in W per ogni h. C) Dato v=(a,b,c), il vettore Ak(v) non dipende da k se e solo se b=0. Quindi una base per W e' data da (1,0,0) e (0,0,1) D) W' e' generato da (0,1,0) e Ak(0,1,0)=(0,2-k,0), quindi fk(W') e' contenuto in W'. Inoltre fk(1,0,0)=(1,2,0) non e' in W.