Soluzione dello scritto di "Geometria e Algebra" del 8/1/01.

ESERCIZIO 1.

A) Gli autovalori sono 1, 2, k. Se k non e' 1 o 2 sono distinti, dunque
e' diagonalizzabile. Se k=1 la matrice I-A ha rango 1, dunque l'autovalore
1 ha molteplicita' algebrica e geometrica 2, e la matrice e' ancora
diagonalizzabile. Invece per k=2 la 2I-A ha rango 2, dunque la matrice non
e' diagonalizzabile.

B) (1,0,0)

C) (1,1,0)

D) (1,1,2) e' autovalore solo per k=0.



ESERCIZIO 2.

A) P1={(x,y,2x+y): x,y in R}, P2={(x,x+z,z): x,z in R},
P1 intersezione P2 = {(0,y,y): y in R}.

B) r1={t(2,1,-1): t in R}, r2={t(1,-1,1): t in R}.

C) Il vettore (0,1,1) e' ortogonale a (2,1,-1) e a (1,-1,1).

D) I vettori (2,1,-1) e (1,-1,1) sono anche ortogonali fra loro.

E) Notando che r1 e' contenuta in P2 e r1 in P2, basta scegliere
f(v1)=v2, f(v2)=v1, f(v3)=v3.

F) Poiche' w sta in P1 si ha che g(w) sta in P2. Similmente, sta in P1.
Dunque sta in P1 intersezione di P2, cioe' e' multiplo di w.



ESERCIZIO 3.

A) Il minore 2x2 in alto a destra e' invertibile. Il determinante fa
(k+3)(k-1). Dunque il rango e' 2 se k=1 o k=-3, 3 altrimenti.

B) Sempre.

C) Gli autovalori devono essere positivi. C'e' l'autovalore 1.
Gli altri sono positivi solo se la traccia 2(k+1) e il determinante
(k+3)(k+1) sono positivi. Dunque se k>1. Inoltre 2>1.

D) Applicando Gram-Schmidt alla base e2,e1,e3 si trova 
e2,e1/rad(2),a*e1+b*e3 dove a e b sono complicati ma facili da
trovare.

E) Si ottiene un sistema di due equazioni in tre incognite, risolto dai
multipli di (-rad(3),rad(3),1).

F) Il vettore di sopra ha norma rad(7) rispetto ad entrambi i prodotti,
quindi basta dividere per tale numero.