GEOMETRIA E ALGEBRA - A.A. 00/01 - Argomenti delle lezioni svolte L01(01) - 03/10/00 Risultante di due forze, proprieta' dell'insieme delle forze applicate ad un medesimo punto. Coordinate nel piano e nello spazio, traslazione, omotetia, rotazione. Polinomi. L02(02) - 03/10/00 Numeri naturali, interi, razionali, reali. Gruppo commutativo e campo. Lo spazio ad n coordinate, i polinomi. Definizione ed esempi di spazio vettoriale sui reali. L03(03) - 04/10/00 Spazio vettoriale delle funzioni. Definizione ed esempi di sottospazio. Dimostrazioni per assurdo e principio di induzione. Irrazionalita' della radice di 2, somma dei primi n interi. E01(04) - 07/10/00 Esercizi ed esempi sulla definizione di spazio vettoriale sottospazio. Polinomi, spazi di funzioni su un insieme. L04(05) - 10/10/00 Intersezione di sottospazi. Sottospazio generato. Combinazioni lineari. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi, coordinate. E02(06) - 10/10/00 Esempi di vettori dipendenti e di generatori nello spazio a tre coordinate e nei polinomi. Basi canoniche di alcuni spazi, esempi di scrittura di vettori in coordinate. L05(07) - 11/10/00 Buona definizione della dimensione. Equivalenza tra dipendenza da un sistema indipendente ed appartenenza al generato. Completamento a base di un sistema indipendente. E03(08) - 14/10/00 Esempi nello spazio tridimensionale di: sottospazi generati da vettori, vettori linearmente dipendenti e indipendenti, basi. L06(09) - 17/10/00 Estrazione di una base da un sistema linearmente indipendente. Dimensione di un sottospazio. Somma di due sottospazi e sua caratterizzazione. Teorema di Grassmann. L07(10) - 17/10/00 Corrispondenza tra uno spazio e lo spazio ordinario tramite le coordinate. Applicazioni lineari. Matrici. Prodotto tra una matrice ed un vettore. L08(11) - 18/10/00 Prodotto tra matrici. Composizione delle applicazioni associate a due matrici. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Iniettivita'. Formula della dimensione. E04(12) - 21/10/00 Esercizi sulla definizione di applicazione lineare. L09(13) - 24/10/00 Definizione di una applicazione lineare su una base. Spazio delle applicazioni lineari. Formula di cambio di coordinate dopo un cambio di base. Matrice identita' e matrice inversa. L10(14) - 24/10/00 Matrice associata ad una applicazione. Corrispondenza dell'azione della applicazione sui vettori e della matrice sulle coordinate. E05(15) - 25/10/00 Esercizi sulle applicazioni lineari e le matrici associate. L11(16) - 28/10/00 Composizone di applicazioni e prodotto di matrici. Spazio delle applicazioni e sua dimensione. Cambi di base nella matrice associata ad una applicazione. E06(17) - 28/10/00 Esercizi su coordinate a matrici di applicazioni. L12(18) - 31/10/00 Sistemi lineari omogenei e non, scrittura matriciale, teorema di Rouche'-Capelli. L13(19) - 31/10/00 Il problema del rango. Condizioni equivalenti di invertibilita` di una matrice. Determinante in dimensione 2 e 3 come area e volume. Lista delle proprieta' caratterizzanti, enunciato del teorema di esistenza e unicita'. Trasposizione e sua linearita'. Determinante della trasposta. Determinante come funzione delle righe. E07(20) - 04/11/00 Sottospazi dello spazio delle applicazioni lineari e dello spazio delle matrici, e calcolo della loro dimensione. E08(21) - 08/11/00 Calcolo del rango di una matrice, discussione dell'esistenza di soluzioni di un sistema lineare. E09(22) - 11/11/00 Descrizione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, riduzione della matrice di un sistema in forma triangolare superiore. Ancora esempi di sottospazi e non dello spazio delle matrici. L14(23) - 13/11/00 Enunciato del teorema di esistenza e unicita' di una funzione determinante che soddisfi le proprieta' scoperte in dimensione 2 e 3. Calcolo tramite riduzione a forma triangolare o diagonale. Formula esplicita del determinante. L15(24) - 13/11/00 Formule di sviluppo di Laplace lungo righe e colonne. Formula dell'inversa di una matrice. Teorema di Kramer per la risoluzione dei sistemi quadrati. Orlati, enunciato del teorema degli orlati, algoritmo di calcolo del rango di una matrice. L16(25) - 15/11/00 Dimostrazione del teorema degli orlati. Sottospazi affini. Unicita' del sottospazio vettoriale associato ma non del vettore di traslazione. Equazioni cartesiane e parametriche. E10(26) - 18/11/00 Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio. L17(27) - 22/11/00 Equazioni parametriche e cartesiane sovrabbondanti. Parallelismo di sottospazi affini. Somma di sottospazi affini e sua dimensione. L'unita' immaginaria. Operazioni algebriche che la coinvolgono. L18(28) - 25/11/00 L'insieme dei numeri complessi come campo. Inverso di un numero non nullo. L'insieme dei numeri complessi come piano reale. Forma polare di un numero complesso. Esponenziale di un numero immaginario puro. L19(29) - 25/11/00 Parte reale, parte immaginaria, modulo, coniugato. Relazioni tra queste nozioni, e calcolo in coordinate cartesiane e polari. Disuguaglianza triangolare. Radici ennesime dell'unita' e di un numero complesso non nullo. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra. L20(30) - 27/11/00 Molteplicita' di una radice. Spazi vettoriali complessi: esempi ed estensione dei risultati reali al caso complesso. Dimensione sui complessi. Interpretazione di uno spazio complesso come spazio reale, raddoppio della dimensione reale rispetto a quella complessa. L21(31) - 27/11/00 Il prodotto scalare standard nel piano. Espressione per suo tramite della distanza dall'origine, dell'ortogonalita', dell'angolo tra due vettori. Estensione al caso n-dimensionale. Proprieta' di bilinearita', simmetria, definitezza positiva. Definizione astratta di tali proprieta' per uno spazio reale. Prodotti scalari su spazi reali. L22(32) - 29/11/00 Applicazioni bilineari (e simmetriche) definite da matrici (simmetriche). Definitezza positiva nel caso di matrici diagonali. Ortogonale ad un insieme. Vettori unitari e ortogonali. Sistemi ortogonali e ortonormali. Indipendenza lineare dei sistemi ortogonali di vettori non nulli. E11(33) - 02/12/00 Applicazioni della formula di Grassman nel caso affine nel caso di rette e piani nello spazio ordinario tridimensionale (e n-dimensionale) E12(34) - 02/12/00 Esercizi sui numeri complessi: risoluzioni di equazioni tramite coordinate polari. Esercizi su basi, intersezioni e somme di spazi nello spazio ordinario complesso. E13(35) - 04/12/00 Esercizi su numeri complessi, ortogonalita' tra rette e piani nello spazio, forme bilineari. L23(36) - 04/12/00 Coordinate rispetto ad una base ortonormale. Proprieta' della norma, funzione distanza associata a una norma. Proiezione ortogonale su un sottospazio e sua espressione tramite una base ortonormale del sottospazio. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. L24(37) - 06/12/00 Matrice di cambio di base nell'ortonormalizzazione. Proprieta' dell'ortogonale di un sottospazio. Significato della trasposta di una matrice nell'ambito del prodotto scalare. Cambiamento di base in un prodotto scalare. Matrici ortogonali. Prodotti scalari hermitiani su spazi complessi e loro proprieta'. Matrici hermitiane ed unitarie. L25(38) - 12/12/00 Descrizione dell'azione di una applicazione lineare in una base opportuna. Coniugazione, diagonalizzabilita'. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, sua buona definizione e coefficienti notevoli. L26(39) - 12/12/00 Molteplicita' algebrica e geometrica e relazioni tra loro. Caratterizzazione delle applicazioni lineari diagonalizzabili. L27(40) - 13/12/00 Matrici reali diagonalizzabili tramite ortogonali. Teorema spettrale. Determinazione delle matrici simmetriche che definiscono prodotti scalari. Criterio sufficiente e criterio necessario perche' un punto critico di una funzione sia un minimo. L28(41) - 14/12/00 Diagonalizzabilita' tramite unitarie. Matrici che commutano con la propria trasposta coniugata. Autovalori e forma canonica di matrici hermitiane, unitarie, ortogonali, antisimmetriche (solo enunciati). E14(42) - 14/12/00 Esercizi sui prodotti scalari reali e complessi. E15(43) - 16/12/00 Esercizi su autovalori e autovettori. E16(44) - 16/12/00 Esercizi sul polinomio caratteristico e le molteplicita' di autovalori.