Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie - laboratorio
Docente: Beatrice Meini

Lezione 5: Metodi a piu' passi lineari

Attenzione: La versione 3.2 di Octave ha un package per risovere ODE; per utilizzare questa versione occorre dare il comando octave3.2.

Le functions di Matlab che implementano metodi LMM sono ode113 (metodo esplicito, basato sulle formule di Adams-Bashforth-Moulton) e ode15s (metodo implicito, basato sui metodi BDF), mentre quella di Octave e' odebdi (metodo implicito, basato sui metodi BDF).

• La function [y] = f5(t,x) e' la funzione che definisce una equazione differenziale tale che l'IVP con condizione iniziale x(1)=1 ha soluzione x(t)=1/t.
  La function [t, x]= adams(fname, tspan, x0, h, k) risolve l'IVP definito dalla function fname, sull'intervallo tspan, con condizione iniziale x0, utilizzando un metodo esplicito di Adams-Bashforth a k passi, con passo di integrazione h. Il metodo a k passi ha ordine di convergenza k. Il numero di passi k varia da 1 a 6.
  

  • Fissare il valore di h e risolvere l'IVP definito dalla function f5(t,x), con x(1)=1, nell'intervallo [1, 25], utilizzando diversi valori di k. Calcolare, per ciscuno valore di k=1,...,6, il massimo errore globale di discretizzazione.
    Ad esempio, con h=0.2, dovreste ottenere gli errori 0.0333, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf. Con h=0.1, dovreste ottenere gli errori err = 0.0091, 0.0091, 1.1246, Inf, Inf, Inf.
    
  • Disegnare le approssimazioni delle soluzioni per intepretare questi risultati apparentemente strani (aumentando k, aumenta la velocita' di convergenza). Provare a prendere valori piu' piccoli di h. Come si comporta l'errore?
    
  • Risolvere lo stesso problema con i risolutori di Matlab/Octave

• La function [t,sol,x1,x2,x3,x4,err]=vari_lmm(l,h) approssima la soluzione dell'IVP descritto qui, utilizzando i quattro metodi LMM a 2 passi descritti nello stesso documento. In entrata la variabile l contiene il parametro lambda, e h e' il passo di discretizzazione. In uscita, t e' la discretizzazione dell'intervallo, sol e' la soluzione esatta, x1, x2, x3, x4 sono le approssimazioni ottenute con i 4 metodi, err e' il vettore con i 4 massimi errori globali di discretizzazione.
  Il metodo (a) e' consistente ma non 0-stabile, il metodo (b) e' consistente, ma "debolmente" 0-stabile (ha radici 1 e -1), il metodo (c) e' consistente di ordine 2 e 0-stabile, il metodo (d) e' un metodo implicito consistente di ordine 2 e 0-stabile.

  • Verificare la (non) 0-stabilita' e la consistenza dei 4 metodi (possiamo usare la function roots per calcolare le radici di un polinomio).
  • Fissare h e l, e calcolare il massimo errore globale di discretizzazione. Ad esempio, con l=-10, h=0.01, dovreste ottenere per i 4 metodi gli errori 1.0e+45, 0.0402, 0.0015, 0.0011. Disegnare le approssimazioni delle soluzioni. Provare valori di l molto negativi, oppure positivi.
  • Risolvere lo stesso problema con i risolutori di Matlab/Octave