Laboratorio didattico di matematica computazionale
Docente: Beatrice Meini

Lezione 10: Calcolo di integrali

Al termine della lezione del 23 Maggio verranno registrati i crediti del laboratorio agli studenti che hanno inviato gli esercizi svolti e hanno partecipato al numero minimo di lezioni richiesto.

La funzione quad di octave permette di approssimare l'integrale di funzioni f:R ---> R. L'uso più elementare consiste nel definire la funzione integranda f mediante il comando function, e nel dare l'istruzione y = quad ( "f", a , b), dove a e b sono gli estremi dell'intervallo d'integrazione: a e b possono essere reali, oppure infinito (Inf) o meno infinito (-Inf).

Utilizzando la funzione quad, si calcoli l'integrale tra 0  e 1 della funzione  f(x)=exp( -x^2). Si calcoli l'integrale tra 0 e +infinito della stessa funzione  e si calcoli l'errore dell'approssimazione, sapendo che il valore esatto è sqrt(pi)/2.

Esercizio: l'integrale di Fresnel
Consideriamo le funzioni

 fresnel

La curva ( x(t), y(t) ), con t in [ -4*pi , 4*pi], è la seguente:

fr_im 

Utilizzando la funzione quad, si scriva una function che prende come input un vettore t che discretizza l'intevallo [0, a]  e disegna la curva ( x(t), y(t)), con t appartenente all'intervallo [-a, a].

Esercizio per casa: metodo dei trapezi
Il metodo dei trapezi è un metodo per approssimare l'integrale su un intervallo limitato [a, b] di una funzione f(x) continua. Il metodo consiste nel suddividere l'intevallo [a,b] in N sottointervalli [t(i), t(i+1)] di ampiezza h e nell'approssimare l'integrale in ciascun sottointervallo come l'area del trapezio di altezza t(i+1)-t(i)=h, e le cui basi sono il segmento di estremi ( t(i), 0) ), ( t(i), f( t(i) ) ) e il segmento di estremi ( t(i+1), 0) ), ( t(i+1), f( t(i+1) ) ). La formula di approssimazione che ne deriva è la seguente:
trap
dove h=(b-a)/N. Si scriva una function che, dato N, approssimi con il metodo dei trapezi il seguente integrale:
es

Si approssimi lo stesso integrale mediante la funzione quad e si valuti la differenza tra le due approssimazioni al variare di N.