Le lezioni a partire da martedì 10 marzo si terranno on line tramite la piattaforma Microsoft Meeting.

Le lezioni saranno interattive e registrate: se qualcosa va storto, potrete rivederle in seguito.

Slide e video compariranno qui sotto:

• Lezione 1 del 10 marzo, video
• Lezione 2 del 12 marzo, video
• Lezione 3 del 13 marzo, video
• Lezione 4 del 17 marzo, Lezione 5 del 19 marzo
• Lezione 6 del 20 marzo
• Lezione 7 del 24 marzo
• Lezione 8 del 26 marzo
• Lezione 9 del 27 marzo
• Lezione 10 del 31 marzo
• Lezione 11 del 2 aprile
• Lezione 12 del 3 aprile

Programma indicativo:

• Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà simmetriche e a curvatura costante.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Compitini:

La/o studente puo' decidere di svolgere dei compitini a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il sabato di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il sabato di ogni settimana).

Alcune regole e osservazioni:

Alcuni ragionevoli cambiamenti temporanei, scritti in corsivo, valgono fino al 3 aprile.

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente correggerà circa 60 * 11 * 3 = 2000 esercizi e idealmente può dedicare 1 minuto a ciascuno. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire venire spesso a lezione e studiare con regolarità. I compitini vanno consegnati a mano al docente, non spediti via mail. Per la prima tornata, i compitini andranno spediti via mail al docente. Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Nel primo caso, la riproduzione deve essere decente (va bene la foto da cellulare, ma fatta in modo da sembrare simile ad una scannerizzazione).

C. E' lecito e perfino consigliato chiedere aiuto ad altri e consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

D. Non rispondo a mail che chiedono informazioni sui compitini. Se ne parla a lezione o successivamente a voce. Non comunico i voti via email, perché è essenziale che lo/a studente veda il compitino per capire cosa ha sbagliato e come migliorare. Vedremo poi come organizzzare la riconsegna.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato i compitini fino in fondo negli anni passati non può partecipare.

F. Chi ha fatto i compitini e non ha mai preso una insufficienza in questi può fare l'orale in una delle sessioni descritte sotto, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto.

Le consegne sono le seguenti:

• Entro martedi 31 marzo andranno consegnati 3+0+3=6 esercizi delle prime 3 settimane (che finiscono i giorni 29 febbraio, 7 e 14 marzo). La seconda settimana è saltata.

Compiti scritti:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per i prossimi scritti: Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.

Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Compiti passati:

• Compito 1 anno 2017
• Compito 2 anno 2017
• Compito 3 anno 2017
• Compito 4 anno 2017 (la data e' sbagliata)
• Compito 5 anno 2017
• Compito 1 anno 2018
• Compito 2 anno 2018

Lezioni:

• Martedi' 16-18 in aula N,
• Giovedi' 9-11 in aula N,
• Venerdi' 14-16 in aula N.

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.